[试题]高考数学难点突破难点04三个“二次”及关系

难点4三个“二次”及关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容, 具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试 题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者Z间的区别及 联系,掌握函数、方程及不等式的思想和方法.难点磁场已知对于x的所有实数值，二次函数心)=#4dx+2a+12(dGR)的值都是非负的，求关 于x的方程X =a 11+2的根的取值范I韦.a + 2案例探究例1 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数(x)= bx，其中a、b、c满足 a>te*c,a+b+c=O,(a,b,c 三 R).(1) 求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2) 求线段AB在x轴上的射影A/】的长的取值范围.命题意图：本题主要考查考纶对函数中函数与方程思想的运用能力属于题 目.知识依托：解答木题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.错解分析：由于此题表面上重在“形”，I大I而本题难点就是一些考生可能走入误区，老 是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了 “数”.技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.证明：由p虫2 +加+ c消纣得%加+=0y = -bxc 3A =4b24«c=4(ac)24t/c=4(6/2+6Zc+c2)=4 («+)2 + c224T a+b+c=O,a>b>c, / d>O,cvO -c2>0,. £>0,即两函数的图象交于不同的两点.4(2)解:设方程dX2+bx+C=O的两根为兀1和兀2,则Xl+X2=rXiX2=.aaL41B1 F=(兀 1 兀2)2=(兀1 +X2)2 4XX2z 2b j 4c 4/?2 -4ac 4(-a-c)2 -4ac=(广二2 = 2a aaa=4(£)2+£+1 = 4(£+异+引a aa 24T a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0c1J.a>ac>c,解得一G(2，一)a2/(£)=<(-)2 +£+1的对称轴方程是£ =丄.a a aa 2p1U(2,)时，为减函数a2AlAjBjPe(3,12),故LA血IG(込,2込).例2已知关于x的二次方程,+2恥+2加+1=0.(1) 若方程有两根,其中一根在区间(一1, 0)内,另一根在区间(1, 2)内，求加的范围.(2) 若方程两根均在区间(0, 1)内，求加的范围.命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属 级题口知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答木题的难点.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出和应的示意图, 然后用两数性质加以限制.解：条件说明抛物线f(x)=+2mx+2m+1与x轴的交点分别在 区间(一1, 0)和(1, 2)内,画出示意图,得/(0) = 2m + l<0,7*(-1) = 20,/(l) = 4m + 2<0,/(2) = 6w + 5>01m <2 m g R,=>S1m <,25 m >65< m6"4-/(0)> 0,据抛物线与X轴交点落在区间(0, 1)内，列不等式组/(1)>0,A >0, 0 < -m < 1(这里Ov加vl是因为对称轴x=-m应在区间(0, 1)内通过) 锦囊妙计1. 二次函数的基木性质(1)二次函数的三种表示法：y=ax +bx+c;)=a(x兀)(x%2)y=axx+n 当ci>OJ(x)在区间阳上的最大值M,最小值加，令x()=y (p+q). J若一二 vp,则/i>)=7*g)=M;2abh若 P <x(), W'J)= f(q)=M;2a2a若也冬一vg,则心)=M/(刍)=加；2a2a若2 刊，则 f(p)=M Jq)=m.la2.二次方程jx)=ax2bx+c=0的实根分布及条件.方程/U)=O的两根中一根比/大，另一根比r小Od /(r)<0;二次方程用)=0的两根都人于厂OA = /?2 -4ac > 0, b2a>r"a-f(r)>0 = b2 -4ac > 0,h(3) 二次方程/W=()在区间(阳)内有两根O v -云< 6a f (q) > 0,af(p)>0;(4) 二次方程沧)=0在区间(p,q)内只有一根O加)期)<0,或加)=0(检验)或/=()(检验) 检验另一根若在(,g)内成立.(5) 方程问=0两根的一根大于p,另一根小于g(pvq)o < a f(P)<°a/(g)O3. 二次不等式转化策略二次不等式 f(x)=ax2+bx-c < 0 的解集是：(一8,a)U ,+ qo ) <> «<0 且D=A)=0;(2)当 a>0 时，JI ag(B)O I a + 2|v|0 + -L|,当 a<0 时，f( )</(/?)<=>I a + > 2a2a2ab当«>()时，二次不等式/(x)>()在p,q 怛成立O厂茲5或心)>0,/ b”<一<q."或心）0,2a2aP；J"(4yu)>0恒成立o <a = b = 0,l 一亠亠c>0;心）<0叽 oZ或A<0,a = b = 0 c < 0.歼灭难点训练一、选择题 )若不等式(a2)x2+2(a 2)x4<0对一切xR恒成立，则a的取值范围是 ()A.(8,2B.2,2C.(-2,2D.(2)设二次函数/W=，兀+d>(),若/(m)v(),则几加一1)的值为()A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能二、填空题3.()已知二次函数/(x)=4x22(p2)x2/?2 p+1,若在区间一1,1内至少 存在一个实数c,使、)>0,则实数p的取值范围是.( )二次函数/(兀)的二次项系数为正，且对任意实数X恒有f(2+x)=f(2x),若 /(I 一2_?)彳1+2%/),则x的取值范|制是.三、解答题5. ()知实数 t 满足关系式 1Oga + = lOgaW(G>0 且 aHl)CTCT令匸d：求)p(x)的表达式；(2)若炸(0,2时，y有最小值8,求。和x的值.6. (*)如果二次函数)=九&+(加3比+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的 右侧，试求加的取值范围.?.()二次函数fx)=px-vqx+r中实数p、q、r满足一+纟+工=0,其中 m+ 2 m +1 m加>0,求证:mdM)<o；m +1方程沧)二0在(0, 1)内恒有解.&()个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为 "160",生产x件的成本/?=500+30x元.(1) 该厂的月产量多大吋，月获得的利润不少于1300元？(2) 当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？参考答案难点磁场解：由条件知山 W0,即(一4a) 24(2°+12)WO,: WdW22当一二 WdVl 时，原方程化为：x=/+a+6f /+d+6= (a)?+ .224T寸,IX25T3 1(2)当 1 WaW2 时，x=/+3a+2=(a+ )2一24：当 4=1 时,Xmin=6,当 a=2 时,Xmax=12,°6WxW 12.9 综上所逛？WxW12.4歼灭难点训练一、1.解析：当a2=0即a=2时，不等式为一4V0,恒成立.a=2,当a2H0时，则a 满足;:驚，解得-2VX2,所以。的范围是-232.答案：C2. 解析：7U)=/x+a的对称轴为兀=丄，且用)>0,则几0)>0,而血i)V0,加丘(0,1), 2： m 1V0, />/(m 1 )>0.答案：A3 1二、3.解析：只需只1)=一2/?3+9>0 或几一1)=一2/,+1>0 即一3<p< 一或一 <pVI.”£(_3,扌).答案：(-3，-)24. 解析：rtlR2+x)h(2x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，112,2IVI1+2 兀一F21,一2<兀<0.答案：一2<兀<0三、5.解：(1)由 log(/-L = iOg得 log/3=log»引0gQa'a'由0/知x=log/ 代入上式得a3=-,X X33(2)令 u-x 3x+3=(x)2+ (兀H0),则 y-a2 若OVdV 1,要使)=a"有最小值8,则w=(x-)2+-在(0, 2上应有授大值，但"在(0, 2上不存在最大值.24a a 若Q>1,要使)=a"有最小值8,则u-(x )2+ e(0,2 J应有最小值243当吋,2-.3由 a4=8 得 a=16:所求 a=6c= .26.解：V/(0)=l>0当加<0吋，二次函数图象与x轴有两个交点且分別在y轴两侧，符合题意.A>0(2)当加 >()时，则解得()V/W1>0综上所述，加的取值范围是曲W1冃.7工0.7. 证明： “f(= pp(一)2+g(一) + 厂m +1m +1m +1=刃7 亠叫+丄+二二-丄(777 + 1) m +1 m(777 + 1) m + 2心严加+ 2)-(加+1)2(«? + 1)2(加+ 2)=pm2)<0.川I于/W是二次函数，故“H0,乂加>0,所以，川二"(m + l)(m + 2)/71 + 1 (2)由题意,得 /(O)=/l)=+q+厂当pVO时,由(1)知/(-)<0 m + 1AMItl若厂>o,则用)>0,又f()vo,所以yu)=o在(0, )内有解； m+1m+1若 厂WO,贝lj f( 1 )=p+q+f-p+(m+1 )=( )+/- >0,m + 2 m m + 2 m又n上一)V0,所以f(x)=O在(上一,1)内何解.m +1m + 1当V0吋同理nJ证.&解：(1)设该厂的刀获利为y,依题意得y=( 602x)x(5OO+3Ox)=2x2+ l30x_ 500由 $213()0 知一2<+130x-50021300 ,一65x+9()()W(), (兀一2()(x45)W(),解得 2()WxW45 当月产量在