高考数学大一轮复习 3.1导数的概念及运算 理 苏教版

数学数学 苏（理）苏（理）3.1导数的概念及运算第三章 导数及其应用基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为 ，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为 .2.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数y f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y ，即f(x0) .(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点 处的 .相应地，切线方程为.3.函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.(x0，f(x0)切线的斜率yf(x0)f(x0)(xx0)4.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c (c为常数)f(x)f(x)x (Q*)f(x)f(x)sin xf(x)f(x)cos xf(x)f(x)ln x 0 x1cos xsin xf(x) axln af(x)ax (a0)f(x)f(x)exf(x)f(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)axln aex5.导数的运算法则(1)f(x)g(x) ；(2)f(x)g(x)；(3) (g(x)0).f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)6.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx ，即y对x的导数等于 的导数与的导数的乘积.yuuxy对uu对xu思考辨析思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0).()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(5)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x.()(6)函数y 的导数是y .()题号答案解析1234 5xy20解析解析y2e2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k2，切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，其中直线y2x2与yx的交点为A( ， )，题型一利用定义求函数题型一利用定义求函数的导数的导数例例1 用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数.解析思维升华题型一利用定义求函数题型一利用定义求函数的导数的导数例例1 用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数.解解方法一yf(xx)f(x)(xx)22(xx)1(x22x1)x22xxx22x2x1x22x1(2x2)xx2，解析思维升华题型一利用定义求函数题型一利用定义求函数的导数的导数例例1 用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数.所以函数f(x)x22x1在x1处的导数为f(x)|x12120.解析思维升华题型一利用定义求函数题型一利用定义求函数的导数的导数例例1 用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数.方法二 yf(1x)f(1)(1x)22(1x)1(12211)12xx222x12x2，解析思维升华题型一利用定义求函数题型一利用定义求函数的导数的导数例例1 用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数.故f(x)|x10.解析思维升华(1)求函数f(x)的导数步骤：求函数值的增量yf(x2)f(x1)；题型一利用定义求函数题型一利用定义求函数的导数的导数例例1 用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数.计算平均变化率 计算导数f(x) .解析思维升华题型一利用定义求函数题型一利用定义求函数的导数的导数例例1 用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数.解析思维升华(2)利用定义法求解f(a)，可以先求出函数的导数f(x)，然后令xa即可求解，也可直接利用定义求解跟踪训练跟踪训练1 (1)函数yx 在x，xx上的平均变化率 ；该函数在x1处的导数是 .0题型二导数的运算题型二导数的运算例例2 求下列函数的导数：(1)yexln x；解析思维升华题型二导数的运算题型二导数的运算例例2 求下列函数的导数：(1)yexln x；解析思维升华(1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错；题型二导数的运算题型二导数的运算例例2 求下列函数的导数：(1)yexln x；解析思维升华(2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导.题型二导数的运算题型二导数的运算例例2 求下列函数的导数：(1)yexln x；解析思维升华解析思维升华例例2 (2)yx ；例例2 (2)yx ；解析思维升华(1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错；例例2 (2)yx ；解析思维升华(2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导.例例2 (2)yx ；解析思维升华解析思维升华例例2 (3)ysin2 ；例例2 (3)ysin2 ；解析思维升华例例2 (3)ysin2 ；则yxyuux sin u42sin u2sin(4x ).解析思维升华(1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错；例例2 (3)ysin2 ；解析思维升华(2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导.例例2 (3)ysin2 ；解析思维升华解析思维升华例例2 (4)yln(2x5).例例2 (4)yln(2x5).解解 设yln u，u2x5，则yxyuux，解析思维升华(1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错；例例2 (4)yln(2x5).解析思维升华(2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导.例例2 (4)yln(2x5).解析思维升华跟跟踪踪训训练练2(1)f(x)x(2 015ln x)，若f(x0)2 016，则x0 .解解析析f(x)2 015ln xx 2 016ln x，故由f(x0)2 016得2 016ln x02 016，则ln x00，解得x01.11(3)若f(x) e2x，则f(x) .解析思维升华题型三导数的几何意义题型三导数的几何意义例例3 设函数f(x)ax ，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；解析思维升华题型三导数的几何意义题型三导数的几何意义例例3 设函数f(x)ax ，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；解解 方程7x4y120可化为y x3.解析思维升华题型三导数的几何意义题型三导数的几何意义例例3 设函数f(x)ax ，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0；解析思维升华题型三导数的几何意义题型三导数的几何意义例例3 设函数f(x)ax ，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.解析思维升华题型三导数的几何意义题型三导数的几何意义例例3 设函数f(x)ax ，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；例例3 (2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解析思维升华例例3 (2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解析思维升华例例3 (2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解析思维升华例例3 (2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，解析思维升华例例3 (2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.yx所围成的三角形的面积为S |2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.解析思维升华导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0；例例3 (2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解析思维升华(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.例例3 (2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解析思维升华跟跟踪踪训训练练3(1)(2014江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2 (a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是 .3(2)已知函数f(x)x33x，若过点A(0,16)且与曲线yf(x)相切的直线方程为yax16，则实数a的值是 .解解析析 先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线上有y0 x 3x0，求导数得到切线的斜率kf(x0)3x 3，(2)已知函数f(x)x33x，若过点A(0,16)且与曲线yf(x)相切的直线方程为yax16，则实数a的值是 .联立可解得x02，y02，9易 错 分 析解 析温 馨 提 醒易错警示系列易错警示系列5 混淆混淆“在某点处的切线在某点处的切线”与与“过某点的切线过某点的切线”致误致误典典例例：若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2 x9都相切，则a .没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误.易错警示系列易错警示系列5 混淆混淆“在某点处的切线在某点处的切线”与与“过某点的切线过某点的切线”致误致误典典例例：若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2 x9都相切，则a .易 错 分 析解 析温 馨 提 醒解析解析因为yx3，所以y3x2，设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x )，则在该点处的切线斜率为k3x ，易错警示系列易错警示系列5 混淆混淆“在某点处的切线在某点处的切线”与与“过某点的切线过某点的切线”致误致误典典例例：若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2 x9都相切，则a .易 错 分 析解 析温 馨 提 醒所以切线方程为yx 3x (xx0)，即y3x x2x .又(1,0)在切线上，则x00或x0 .当x00时，由y0与yax2 x9相切可得易错警示系列易错警示系列5 混淆混淆“在某点处的切线在某点处的切线