英才学院机械工程控制基础教案04系统的频率特性分析

Chp.4 频率特性分析频率特性分析 基本要求基本要求 1掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、单位脉冲响应函数和微分方程之间的相互关系；掌握频率特性和频率响应的求法； 掌握动刚度与动柔度的概念。 2 掌握频率特性的Nyquist图和Bode图的组成原理， 熟悉典型环节的Nyquist图和Bode图的特点及其绘制， 掌握一般系统的 Nyquist 图和 Bode 图的特点和绘制。 3了解闭环频率特性与开环频率特性之间的关系。 4掌握频域中性能指标的定义和求法； 了解频域性能指标与系统性能的关系。 5 解最小相位系统和非最小相位系统的概念。 重点与难点重点与难点 本章重点本章重点 1频率特性基本概念、代数表示法及其特点。 2频率特性的图示法的原理、典型环节的图示法及其特点和一般系统频率特性的两种图形的绘制。 3 频域中的性能指标。 本章难点本章难点 1一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析。 2频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。 1 概述概述 一、频域法的特点： 系统分析法：时域法、频域法 仅数学语言表达不同：将 t 转换为，不影响对系统本身物理过程的分析； 时域法侧重于计算分析，频域法侧重于作图分析； 工程上更喜欢频域法 优点：a)系统无法用计算分析法建立传递函数时，可用频域法求出频率特性，进而导出其传递函数； b)验证原传递函数的正确性： 计算法建立的传递函数，通过实验求出频率特性以验证； c)物理意义较直观。 缺点：仅适用于线性定常系统 工程上大量使用频域法。 二、基本概念： 1、频率响应： 定义：系统对正弦（或余弦）信号的稳态响应。 输入：xi(t)=Xisint 输出：包括两部分： 瞬态响应：非正弦函数，且 t时，瞬态响应为零。 稳态响应：与输入信号同频率的波形，仍为正弦波，但振幅和相位发生变化。 fig4.1.1 讨论：a)频率响应仅是时间响应的特例； b)频率响应反映系统的动态特性：输出随变化（非 t）； c)为何选简谐信号为输入？ 原因：工程上绝大多数 周期信号可用 F 变换展开成叠加的离散谐波信号； 非周期信号可用 F 变换展开成叠加的连续谐波信号。 用正弦信号作输入合理。 2、频率特性 G(j):（为幅频特性和相频特性的总称） 定义：频域中，系统的输入量与输出量之比。 讨论：G(j)是复数，可写成： G(j)=u()+jv()=G(j)ej()=A()() u()：为 G(j)的实部 实频特性； v()：为 G(j)的虚部 虚频特性。 幅频特性G(j)：输出量的振幅与输入量的振幅之比。 G(j)反映输入在不同下，幅值衰减或增大的特性。 G(j)是 G(j)模： 相频特性()： 定义：输出量的相位与输入量的相位之差。 ()= ()=t+G()- t a) G()反映频率特性的幅角； b) 符号：()逆时针方向为正； 系统()一般为负。原因：系统输出一般滞后。 结论：频率响应实际上可由频率特性描述，而频率特性可由幅频特性和相频特性表达。 三、频率特性获取： 1、L 逆变换：因为 X0(s)=G(s)Xi(s) 若 xi(t)=Xisint （例） 2、用 j替代 s： 求出 G(s)后，用 j替代 s 即可。（证明，例） 3、实验方法：不能用计算方法建立系统数学模型时尤其适用。 方法：改变输入信号频率，测出相应输出的幅值和相位 画出 XO()/ Xi与曲线 获幅频特性 画出()与曲线 相频特性 系统数学模型获取方法： p.89 四、频率特性的特点： 1、G(j)是 w(t)的 F 变换。 因为 X0(s)=G(s)Xi(s) xi(t)=(t) Xi(s)=1 x0(t)=w(t) 所以，X0(j)= G(j) 即 Fw(t)= G(j) 结论：对系统频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。 2、G(j)在频域内反映系统的动态特性。 G(j)是谐波输入下的时域中的稳态响应， 而在频域中， 系统随变化反映系统动态特性。 3、频域分析比时域容易。 a) 分析系统结构及参数变化对系统的影响时更容易分析； b) 易于稳定性分析； c) 易于校正，使系统达到预期目标； d) 易于抑制噪声，用频率特性易于设计出合适的通频带，抑制噪声。 2 频率特性的频率特性的 Nyquist 图（极坐标图）图（极坐标图） 频率特性分析常用图示法：极坐标图（Nyquist），对数坐标图（Bode） 一、极坐标图的绘制： Nyquist 图：当由 0时，G(j)（矢量）的端点在G(j)复平面上所形成的轨迹。 矢量：即为频率特性 G(j) 对=1 在实轴上投影：G(j)实部，u()=u(1) 在虚轴上投影：G(j)虚部，v()=v(1) G(j1)= u(1)+ jv(1) 模 相角 Nyquist 图既表示实频和虚频特性，也反映幅频和相频特性。 绘制步骤：由 G(j)列出G(j)和G(j)表达式； 角G(j)走向：逆正顺负 在0，取不同值，代入G(j)、G(j)，获得相应值； 在相应于G(j)射线上，截取G(j)值； 将G(j)线段的终点连接起来，即获得 G(j)的极坐标图。 二、典型环节的 Nyquist 图： 1、 比例环节： G(s)=K 频率特性：G(j)=K G(j)=K u()=K G(j)=00 v()=0 轨迹：一条与实轴重合的直线。 结论：比例环节的幅、相频率特性与无关； 输出量的振幅永远是输入量振幅的 K 倍，且相位永远相同。 2、 积分环节： G(s)=1/s 频率特性：G(j)=1/j G(j)=1/ u()=0 G(j)=-900 v()=-1/ 变化：=0 G(j)= G(j)=-900 = G(j)=0 G(j)=-900 轨迹：一条与负虚轴重合的直线，由无穷远点指向原点，相位总是-900 结论：低频（0）时，输出振幅很大，高频（）时输出振幅为 0； 输出相位总是滞后输入 900。 3、 微分环节 G(s)=s 频率特性：G(j)=j G(j)= u()=0 G(j)=900 v()= 变化：=0 G(j)=0 G(j)=900 = G(j)= G(j)=900 轨迹：与正虚轴重合的直线，由原点无穷远点指向无穷远点，相位总是 900 结论：低频（0）时，输出振幅为 0，高频（）时输出振幅很大； 输出相位总是超前输入 900。 4、 惯性环节： G(j)=-arctgT 变化：=0 G(j)=k G(j)=00 =1/T G(j)=0.707k G(j)=-450 = G(j)=0 G(j)=-900 轨迹：四象限内的一半圆。（图 4.2.1） 结论：低频端（0）时，输出振幅等于输入振幅，输出相位紧跟输入相位，即此时信号全部通过； 随，输出振幅越来越小（衰减），相位越来越滞后； 高频端（）时输出振幅衰减至 0，即高频信号被完全滤掉 （实际上是一个低通滤波器） 5、 一阶微分环节：G(s)=Ts+1 G(j)=jT+1 u()=1 v()= T G(j)=arctgT 变化：=0 G(j)=1 G(j)=00 =1/T G(j)=1.414k G(j)=450 = G(j)= G(j)=900 轨迹：始于正实轴点（1，j0），且平行于虚轴，在第一象限内的一条直线。 结论：高、低频信号都能全部通过，频率越高，增益越大，相位越超前。 6、振荡环节： 变化：=0 （=0） G(j)=1 G(j)=00 = n （=1） G(j)=1/2 G(j)=-900 = （= ） G(j)=0 G(j)=-1800 轨迹：在三、四象限内的曲线。起点（1，j0），终点（0，j0）(图 4.2.6) 讨论：取值不同，Nyquist 图形状不同；（图 4.2.7） 值越大，曲线范围越小。 固有频率n：曲线与虚轴之交点，此时幅值G(j)=1/2 谐振频率r：使G(j)出现峰值的频率。 rd:欠阻尼下，谐振频率总小于有阻尼固有频率。 7、 延时环节：G(s)=e-s=|G|ej() |G(j)|=1 G(j)=- (图 4.2.9) 三、Nyquist 图的一般形式： 传递函数： 式中，k=b0/a0,分母次数 n，分子次数 m， 1、 0 型系统（v=0）: 当=0 G(j)=k G(j)=00 = G(j)=0 G(j)=(m-n)900 在低端，轨迹始于正实轴，高端时，轨迹趋于原点（由哪个象限趋于原点？） 2、型系统（v=1）： 当=0 G(j)= G(j)=-900 = G(j)=0 G(j)=(m-n)900 低端，轨迹的渐近线与负虚轴平行，高端时，轨迹趋于原点 3、型系统（v=2）： 当=0 G(j)= G(j)=-1800 = G(j)=0 G(j)=(m-n)900 低端，轨迹的渐近线与负实轴平行，高端时，轨迹趋于原点 可见，无论 0、型系统，低端幅值都很大，高端都趋于 0 控制系统总是具有低通滤波的性能。 四、例题： 1、 已知系统的传递函数，试绘制其 Nyquist 图。（图 4.3.1） 2、 已知系统的传递函数， 试绘制其 Nyquist 图。（图 4.3.2） 3、 已知系统的传递函数， 试绘制其 Nyquist 图。 （图 4.3.3） 3 Bode 图（对数坐标图）图（对数坐标图） 将幅、相频率特性分开画：对数幅频特性，对数相频特性，统称 Bode 图。 一、坐标构成： 1、 对数幅频特性图： 横坐标：对数分度：lg1/2, 标示：lg 单位：rad/s 或 s-1 纵坐标：线性分度，20lg| G |, 单位：分贝（dB） 2、 对数相频特性图： 纵坐标：G(j)的相位G()，单位：度 横坐标：同对数幅频特性图 3、 优点： 简化计算：将串联环节的幅值乘除法简化为对数域的加、减法。 简化作图过程：对环节的幅值 Bode 图，先用渐近线表示，再修正曲线，可获得较精确的幅值 Bode 图。 叠加：叠加法将各环节幅值 Bode 图进行累加，获得整个系统的 Bode图。 便于对系统的性能进行观察和分析：横坐标用 lg1/2作分度，扩展了低频区，缩小了高频区。（系统主要性能表现在低频区） 二、典型环节的 Bode 图： 1、 比例环节：G(j)=K |G(j)|=K 20lg|G(j)|=20lgK 对数幅频特性曲线：一条水平线，分贝数 20lgK K 值大小使曲线上下移动。 G(j)=arctg(0/k)=0o 与 0o线重合，与 K 值无关。（图 4.4.2） 2、 积分环节 20lg|G(j)|=-20lg 线性关系 =1 （lg=0） 20lg|G(j)|=0dB =10（lg=1） 20lg|G(j)|=-20dB 曲线通过（1，0）、（10，-20） 斜率:-20dB/dec 令 y=20lg|G(j)|，x= lg，则 y=-20 x 与无关 过（0，90o）平行于横轴的直线。 若 则 20lg|G(j)|= 20lgk-20lg 相当于 y=b-20 x 3、 微分环节 G(j)= j |G(j)|= 20lg|G(j)|= 20lg 为一条斜率 20dB/dec 的直线 =1 （lg=0） 20lg|G(j)|=0dB 直线通过（1，0） 与无关 4、 惯性环节： 幅频特性： 讨论：a)非线性，用渐近线表示。 b)T（低频渐近线）：20lg|G(j)|20lgT-20lgT=0 一条与 0dB 线完全重合的直线，止于（T，0） c) T（高频渐近线）：20lg|G(j)|20lgT-20lg 截距 20lgT，斜率-20dB/dec,始于（T，0） d) 转角频率T：低频渐近线与高频渐近线的交点 e) 低通滤波特性：低频输出较精确反映输入。 高频输出很快衰减。 f) 误差：渐近线与精确对数曲线的差值 e() 低频： 高频： 修正曲线： 最大误差在T处，e(T)=-3dB 相频特性： =0 G()=0o =T G()=-45o = G()=-90o 曲线对称于点（T，-45o），低频段，输出与输入的相位相同，高频段，输出相位滞后于输入 90o。 5、 振荡环节：