复旦大学高等数学课件28隐函数微分法及其应用

2012/2/22 1 4 隐函数微分法及其应用隐函数微分法及其应用 隐函数存在定理 ( ,)0F x y 设设函数函数 F (x, y) 在点在点 的某邻域的某邻域 ),(000yxP0(, )U P 有定义，而且有定义，而且 001)(,)0,F xy ),(0 PO2) 在在 中中 F 及其偏导数及其偏导数 连续，连续， 003)(,)0,yF xy ,xyFF则则 ，在，在 中唯一确定隐函数中唯一确定隐函数 f ， 0 ),(00 xx使得使得 1)( ,( )0,F x f x 00(,),xxx)(00 xfy xyFdydxF 2) f 在在 中可微，且中可微，且 ),(00 xx2012/2/22 2 隐函数的求导公式隐函数的求导公式 xyFdydxF 当隐函数当隐函数 f 存在时存在时, , 由由 F (x, y) = 0 , 两边对两边对 x 求导得求导得 )(xfy 0 dxdyFFyxyxFFdxdy 2012/2/22 3 ( , , )0F x y z 隐函数存在定理 0001)(,)0,F xy z 0003)(,)0,zF xy z 1)( , ,( , )0,F x y f x y 0(, ),PO P 000(,);zf xy ,xzFzxF .yzFzyF 设设函数函数 F (x, y, z) 在点在点 的某邻域的某邻域 ),(0 PO 有定义，而且有定义，而且 0000(,)P xy z),(0 PO2) 在在 中中 F 及其偏导数及其偏导数 连续，连续， ,xyzFFF则则 ，在，在 中唯一确定二元隐函数中唯一确定二元隐函数 f ， 0 ),(00 xx使得使得 2) f 在在 中可微，且中可微，且 ),(0 PO2012/2/22 4 例例1、求方程、求方程 所确定的隐函数所确定的隐函数 y = f (x) 0122 yx在点在点 (0, 1) 的一阶导数和二阶导数。的一阶导数和二阶导数。 例例2、求由方程、求由方程 1coscoscos222 zyx所确定的隐函数所确定的隐函数 z = f (x, y) 的全微分的全微分 dz . 例例3、设、设 求求 (,),zf xyz xyz,zx ,xy .yz 2012/2/22 5 (,)0zzF xyyx所确定，其中所确定，其中F 具有连续偏导数。具有连续偏导数。 证明证明 zzxyzxyxy例例4、设、设 z = z (x, y) 由方程由方程 求求 ,.uuduxy例例5、设、设 u = f (x, z) 而而 z 是由方程是由方程 z = x + y g (z) 所所 确定确定的的 x、y 函数，函数，f 、g 都有连续的导数，都有连续的导数， 2012/2/22 6 综合练习 1、设、设 ，其中，其中 z = z (x, y) 是由方程是由方程 sin()xzueyz222coscoscos1xyz所确定的隐函数，所确定的隐函数， 求求 .uy 2、设、设 F (x, y) 具有连续的偏导数吗，已知方程具有连续的偏导数吗，已知方程 (,)0 ,xyFzz 求求 dz .