热力学与统计物理答案

第一章 热力学的基本规律习题 1.1 试求理想气体的体胀系数 ,压强系数 和等温压缩系数 。T解：由 得 ：nRTPVVnRTPV;所以, 1)(1TV/PnRTP/1)(2习题 1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质 ,其物态方程可由实验p测得的体胀系数 及等温压缩系数 ,根据下述积分求得:T如果 ,试求物态方程。)(lndpTV1Tp解： 因为 ,所以,我们可写成 ,由此,0,f )(V, 因为dpTVdTp)()( TTppV)(1,)(1所以, dTV,所以, ,当 .dpVTln p/1,/C:,l得 到习题 1.3 测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为 和150*8.4K， 可近似看作常量，今使铜块加热至 10°C。问（1 压170*8.nTpT,强要增加多少 才能使铜块体积不变？（2 若压强增加 100 ，铜块的体积改np多少解：分别设为 ，由定义得：Vxn;744 10*8.10*85.;10*85. VT所以， 7,62pxn习题 1.4 描述金属丝的几何参量是长度 ，力学参量是张力 ，物态方程是L实验通常在 下进行，其体积变化可忽略。线胀系数定义为0),(TLfnp1等杨氏摸量定义为 其中 是金属丝的截面积，一般说1TLAY)(来， 和 是 的函数，对 仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可Y看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由 降 2T时，其张力的增加1为 )(12TA解： ),(,0),(LTf所以， dTdL因 AYLTT)(;1)(dTAYdTAYdL,;0所 以所以, )(12习题 1.7 在 下，压强在 0 至 1000 之间，测得水的体积C25np如果保持温度不变，将13263)14.17.06.18( molcpV1mol 的水从 1 加压至 1000 ，求外界所做的功。nn解：外界对水做功: J dpPdpWnnP1.3 )3106.41075.068( 81 3习题 1.8 解：外界所作的功： LdJW0 dLbTL020;)( LbT02008bT560TL习题 1.10 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体充入。当压强达到外界压强 p0 时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能 与原来大气中的 之差为 ，其中 是它原来在大气中U0U0Vp0的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。解：假设先前的气体状态是（P 0，dV 0,T0）内能是 u0，当把这些气体充入一个盒子时，状态为（P 0,dV,T）这时的内能为 u，压缩气体所做的功为：,依绝热过程的热力学第一定律， 得 0dVp 000dVPU积分得 0VpU对于理想气体，上式变为 1vRTvcV故有 0所以 01cTVP对于等压过程 0101习题 1.15 热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送扫温度较高的物体上去。如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试求热泵的效率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？解：AB 等温过程 BAVRTMQln11BC 绝热过程CD 等温吸热 CDVRTMQln22DA 绝热， 21ACDBAVRTMTlnlnl21由绝热过程泊松方程： ；21rCrBV112rAr ； DACDB 212121 TTT将功 A 直接转化为热量 ，令高温物体吸收。有 A=Q1 。1QAQ习题 1.16 假设理想气体的 Cp 和 CV 之比 是温度的函数，试求在准静态绝热过程中 T 和 V 的关系。该关系试中要用到一个函数 F(T)，其表达式为：TdF1ln解：准静态绝热过程中： ， (1)0dQpVU对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为(2)dTCv物态方程 (3)VnRPp(2)，(3)代入(1)得： （其中 ）dVn1dTTnRTCd1关系式dVT1ln1为 T 的函数 V -1 为 T 的函数。 VTF1)(。1)(VTF第二章 均匀物质的热力学性质习题 2.1 温度维持为 25 , 压强在 0 至 1000pn 之间，测得水的实验数据如下：（ ） p=(4.5×10-3+1.4×10-6P)cm3·mol-1·K-1TV若在 25的恒温下将水从 1pn 加压到 1000pn, 求水的熵增和从外界吸收的热量。解：利用麦氏关系： =- 求熵增 S ; 从p)(TS)( 而 = , =-0.572Jmol-1·K-1 =-157J·mol-1QTSQ习题 2.2 已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在温 度保持不变时,该气体的熵随体积而增加。解：由题意得： 。)()(VfTkp因 V 不变,T、p 升高,故 k(V)>0据麦氏关系(2.2.3)式得:= = (V) (k(V)>0)TS)(p)(k;Tgd由于 k(V)>0, 当 V 升高时(或 V0V ,V>V0),于是)kT 不变时,S 随 V 的升高而升高。2.3 设一物质的物态方程具有以下形式 ，试证明其内能与体积无关。TfP)(解： ， ( )T = - p = =0 得证。VfP)(U,V)()(Vff习题 2.4 求证： () 0HPSUS证: 由式(2.1.2) 得： dPd等 H 过程: HHT)()(（ ） H=- 0; T>0)S由基本方程： dSdU;dVTpUdS1（ ） U= >0.习题 2.5 已知 =0 , 求证 =0。TVU)(Tp)(解： 由式(2.2.7) 得：= -p; =0 ; T)(V)(T)(Vp)(= = =0=U),(),(U,TU 0 ; =0。TVp)(Tp习题 2.6 试证明一个均匀物体在准静态等过程中熵随体积的增减取决于等压下温度 随体积的增减。解： F=U-TS, 将自由能 F 视为 P,V 的函数; F=F(p,V) SdTdUSdT),(= =pVS,pTS,V,pTS,pV由关系 ; 。CpppCp习题 2.7 试证明在相同的压强降落下,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。 （提示:证明 - >0）STH证：dSHpHTdpdTpSTdSTpSppS),( 1),( 联立（1） ，（2）式得：- = = =SpTHpTSpSTHpSC据： dVdU熵不变时， （dS=0）, dU=dpTSdHSH- = ； 原题得证。SH0pCV习题 2.8 实验发现 ,一气体的压强 p 与比容 v 的乘积及内能 U 都只是温度的函数, 即pv=f(T); U=U(T)，试据热力学理论,讨论该气体物态方程可能具有什么形式。解: pV=CT ， 其中 C 是一个常数。）（） ；（ TUTfpV由式（2.2.7）及 )(=0= ；TVVp=pV）（TpSp即： VTffT)(1；dfdf习题 2.9 证明： = =- 并由此导出：TVC)( ,)(2VpTpC)( ,)(2p； )(200dVV )(200dpTVpp根据以上两式证明,理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度 T 的函数。 证：据式（2.2.5）： =TVCVUVS=T =T2Vp2类似可证： =-Tp2习题 2.10 证明范氏气体的定容热容量只是温度 T 的函数,与比体积无关。证： 范氏气体 Rbvap2由式(2.2.7) =T -p=TUV2vab=Tv2a)(),(0TfUv= ；与 v 无关。VCV)(f习题 2.11 证明理想气体的摩尔自由能可以表为：00lnTsvRdTudf VV = scTvl02解： ； ，对于理想气体Tsufsdudf，CV)(Tu VT选上图示积分路径，过程： dCQsVL；TuV0TdsV0001 sCusf VV过程： 0uQTsf 2，根据热力学第一定律0ln0vRdpVQ00021 lvTsdTCudffVV习题 2.14 一弹簧在恒温下的恢复力 X 与其伸长 x 成正比,即.X= -Ax；今忽略弹簧的 热膨胀,试证明弹簧的自由能 F、熵 S 和内能 U 的表达式分别为；21)0,().(ATxdxS,2)(21)0.(),( xTTUx解： ,);(,TAxX +dUdTxxUT;)(ASFSFxxTA)(TxF)()(21),(2TBxATxF=SXd)(2由于 ,UFTBxATBAxTF221)(1= dd)(22X=0 时，U=0,即不考虑自身因温度而带来的能量。实际上， =0 或 =dTB)( dTB)()0,(U即得： 221)0,(, xAUX; ),(),(AxTFdTST)0,(),(2习题 2.15 承前 1.5 和 1.8 题.试求将理想弹性体等温可逆地由 L0 拉长至 2L0 时所吸收 的热和内能的变化。解：设自由能为 W, dW=-SdT+Fdl20LbTFLT),(),( 002A显然，当 时有：0L ),(2),( 000 LTLbTW ；bTLWLTA0023),(),(),(, 000 LWb TLTLbLWS ,2323002002（注意到 ）)(T TLWLbLb ),(23232 000020 000),(),( STWL02200 3)23( TLbLbS )251(00200 bS0200TSTQL进而求 (略) 。U习题 2.16 承 2.15 题，试求弹簧性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化。解：上接