几类特殊四面体外接球半径求解的策略

       几类特殊四面体外接球半径求解的策略                     摘 要：立体几何是培养学生空间想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的重要学科，本文通过探求几类特殊四面体的几何特征，归纳出它们的外接球半径公式或求解策略，并通过高考题（含质检题、模拟题等）和竞赛题进行运用和检验，进一步发展学生的数学核心素养。关键词：四面体；外接球；半径球问题可以综合考查学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，与球相关的计算问题在高考、各类模拟考甚至竞赛试题中屡见不鲜，尤其是以三棱锥作为背景设置外接球问题较多。三棱锥外接球问题题型丰富、灵活多变，此类问题实质是解决球的半径 或确定球心 的位置问题。本文基于课堂教学，立足基础和基本技能，谈谈几类特殊四面体外接球的求解方法，以供参考。1. 易补形为长方体模型下的四面体（1）直角四面体（墙角型）的外接球半径从一个顶点出发的三条棱两两垂直的四面体称为直角四面体。该三棱锥的特点为一顶点 处引发的的三条棱 两两互相垂直，将该三棱锥补形为以三条棱分别为长、宽、高的长方体，如图1.1所示。则该三棱锥外接球半径即为长方体的外接球半径，因此不难得到该三棱锥的外接球半径 .例1 （2008年高考数学福建卷第15题）若三棱锥三个侧面两两垂直，侧棱长均为 ，则外接球的表面积为_.解：由于三棱锥三个侧面两两垂直，则这个三棱锥为直四面体。由于三个侧棱长都等于 ，则外接球半径 所以此三棱锥外接球的表面积 .点评：当三棱锥某一顶点处的三条棱两两垂直时，可将此三棱锥视为长方体的一角，进（2） 等腰四面体的外接球半径三组对棱分别相等的四面体称为等腰四面体。该三棱锥的特点为三组相对的棱 与 、 与 、 与 分别相等。可将该三棱锥补形为如图1.2所示的长方体，其中三组相对的棱分别位于长方体的六个面的对角线上。不妨长方体的长、宽、高分别为 ，则由勾股定理可知， 故可得 所以此三棱锥外接球的半径 .例2 （2018年全国高中数学联赛浙江省预赛第10题）在四面体 中，已知 则四面体 的外接球的半径为_.解：由于三棱锥三组对棱相等，则这个三棱锥为等腰四面体。可将该三棱锥补形为如图所示的长方体，设长方体的长宽高分别为 ，则所以此四面体外接球半径点评：本题在求解过程中需要从边长关系出发来认识三棱锥模型，抓住三组相对的棱分别相等这一信息，将三棱锥补形为长方体，体现了转化与化归思想，实现复杂问题简单化，从而使得问题迎刃而解。（3） 正四面体的外接球半径四个面都是全等的正三角形的四面体称为正四面体。该三棱锥的特点是所有棱长都相等，可将该三棱锥补形为如图1.3所示的正方体。设正四面体 的棱长为 ，则正方体的边长为 ，所以该三棱锥的外接球半径为例3 （2003年全国卷理科第12题）棱长都为 的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）解:由于三棱锥棱长都为 ，则此三棱锥为正四面体。将该三棱锥补形为边长为1的正方体，所以其外接球半径 故其外接球的表面积为 .点评:正四面体所有棱长都相等，它不仅有外接球和内切球，而且球心是重合的，恰好是正四面体的中心。本题将三棱锥补形为正方体可有效简化求解过程。（4） 鳖臑外接球的半径鳖臑：四个面都为直角三角形的四面体。此四面体的特征是有两个共斜边的直角三角形（斜边长相等）拼接而成，这条斜边称为三棱锥的长棱。如图1.4，三棱锥 中， 平面 , 可将此三棱锥补形为以底面 的两条直角边 和垂线 分别为长、宽、高的长方体，长方体的对角线的中心即为球心。例4 （2018年福州市高三质检文科第10题）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑。已知四面体 为鳖臑， 平面 , ，且该鳖臑的四个顶点都在球 的表面上，则球 的表面积为_.解：如图4-1， 平面 ，所以 ， ,又 ， 为直角三角形，所以 ，从而 平面 ， 为 和 的公共边，所以 中点为球心 . ， .故球 的表面积为 .点评：本题中，三棱锥 的底面 为直角三角形，过顶点 的侧棱与底面垂直，具备此几何特征的三棱锥（四个面均为直角三角形），即可补形为长方体。若过底面三角形的直角顶点 的侧棱垂直于底面，则此模型即为例1中的三棱锥。2.易补形为直三棱柱模型下的四面体（1）一条棱垂直底面的三棱锥外接球半径有一条棱垂直于底面的三棱锥可以补成直棱柱。如图，在棱锥 中， 平面 ,设 ，底面 的外接圆半径为 。把这个三棱锥补成一个三棱柱，则外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，则外接球半径为例5：（2008年高考浙江卷理科第14题）如图，已知 四点在球 的表面， 平面 ， 则球 的体积等于_.解由于 平面 ，所以这个三棱锥是直三棱锥。因为 且 ,所以 ,底面外接圆半径 ，所以三棱锥外接圆半径 ,所以球 的体积 .（ 另外，此题亦可补成长方体求解。）例6：（2016-2017学年广东省佛山市高二上学期教学质量检测理科第16题）四面体 中, 则四面体 外接球表面积是_.解：由题设，可得 所以 同理， 所以 底面 。因为 故底面 为等边三角形，由正弦定理可得底面 的外接圆半径 所以此四面体 外接球半径 故四面体外接球的表面积点评:一般棱锥的外接球的球心是在经过棱锥的底面多边形的外接圆的圆心垂直于这个面的直线上。例5、例6通过构造之三棱柱来求解，其球心是两底面三角形中心连线的中点。3.正三棱锥的外接球半径如图3,正三棱锥 中，顶点 在底面的射影 是底面的中心，则外接球球心一定在顶点到底面中心的连线上。不妨设正三棱锥的高为 ， ，底面边长为 ，外接球球心为 ,半径为 ,由正弦定理可得 的外接圆半径。在 中，由勾股定理得 得例7（2019年全国卷理科第12题）已知三棱锥的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为2的正三角形， 分别是 的中点， ，则球 的体积为（ ）A. B. C. D.解：由题知此三棱锥为正三棱锥，不妨设 ，则可得因为又即 ，解得故三棱锥 外接球的半径所以三棱锥的体积为另解 ：因为 且 ，易知 两两相互垂直，故亦可补成正方体，故三棱锥 的外接球的体积为点评：在计算侧棱长时，要注意结合几何图形及余弦定理求解。3.具有特殊二面角的四面体若四面体涉及特殊的二面角，设过二面角两个半平面所在三角形外心且垂直所在平面的直线为 则球心为 的交点。例7（2018年全国高中数学联赛福建省预赛第6题）在三棱锥 中， 都是边长为 的等边三角形，若二面角 的大小为 ，则三棱锥 外接球的面积为_.解：如右图，三棱锥 外接球的球心在过底面外心 且垂直面 的直线上，也在过侧面 外心 且垂直面 的直线上，设两垂线交于 ,由 和 确定的平面交 于 ，则 ，所以 为 中点， 因为 和 都是正三角形，连结 , 则 ， , 故三棱锥 外接球的面积为4.特殊筝形（菱形、正方形）翻折而成的三棱锥的外接球筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形。近几年高考不乏出现以筝形为背景的精彩考题，此类考题图形美观、简洁，充满新意，尤其是对特殊四面体的考查，重点考查了学生的直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养。若四面体由特殊的筝形翻折而成且涉及特殊的二面角，设过二面角两个半平面所在三角形外心且垂直所在平面的直线为 则球心为 的交点。如图，四面体 中， ， ,则此四面体可看做将筝形中的半平面 沿着对角线 翻折到空间中一定位置而得到。设过两个半平面所在三角形外心且垂直所在面的直线分别为 ，则球心为 交点 .例8（2018年全国高中数学联赛福建省预赛第6题）在三棱锥 中， 都是边长为 的等边三角形，若二面角 的大小为 ，则三棱锥 外接球的面积为_.解：如右图，三棱锥 外接球的球心在过底面外心 且垂直面 的直线上，也在过侧面 外心 且垂直面 的直线上，设两垂线交于 ,由 和 确定的平面交 于 ，则 ，所以 为 中点，因为 和 都是正三角形，连结 ,则 ， , 故三棱锥 外接球的面积为例9（高考模拟卷改编）在三棱锥 中， ， ,平面 平面 ，则该多面体的外接球的表面积为 .解:此三棱锥可看作由特殊筝形 （边长为的正方形） 沿着对角线 翻折而得到，因平面 平面 ,其外接球的球心为过和 的外心且垂直所在平面的直线交点 。由题易求得 所以三棱锥外接球的半径故此三棱锥外接球的表面积为点评: 若多面体涉及特殊的二面角且是特殊筝形（菱形、正方形）对称翻折得到的，则这类四面体以正三角形、直角三角形、等腰三角形为底面，这样比较容易确定外心位置，进而求解外接球半径。如例8， 为全等的直角三角形，其所在平面相互垂直，这有利于分析外心位置，确定线面位置关系。上面探求了几种特殊四面体的外接球半径的求解，并通过实例运用检验。为了很好地使用这些方法，首先要深入理解题目中的条件，清楚题目所述的是哪类特殊四面体，然后才能准确使用公式。若能理解以上几个公式的推导过程，熟练掌握补形法、转化法、轴截面法和向量法等解题方法，不仅能解决特殊四面体的外接球问题，也能解决一般四面体的外接球的问题，以此类推，还能解决其他的锥体、多面体和旋转体的外接球的问题。参考文献1朱贤良.如何确定外接球球心的位置J.理科考试研究,2019(10):30-34.2李昭辉,童新安.可补形为长方体计算的棱锥外接球问题J.中学数学研究(华南师范大学版),2017(21):1-2+53.3荆志强.多面体外接球问题处理的策略探究J.理科考试研究,2019(07):15-21.4余敦群.几类特殊四面体外接球半径公式的推导及应用J.中学数学教学参考(下旬)2016(06):68-69.5武增明.确定简单多面体外接球的球心的策略J.中学数学杂志,2013(01):36-37.6 -全文完-