电路分析基础8阻抗和导纳

电路分析基础,教师：张 荣,专业基础课,第三篇动态电路的相量分析法,变换域分析相量模型正弦稳态功率 三相电路耦合电感 理想变压器,第八章 阻抗和导纳,变换：将动态电路微分方程求解转换为代数方程求解，运用电阻电路的分析方法处理正弦稳态分析阻抗和导纳相量模型,§8-1 变换方法的概念,采用变换方法分析问题的基本思路：把原来的问题变换为一个较容易处理的问题在变换域中求解问题把变换域中的解反变换为原来问题的解,如：采用变换方法求解方程,1、变换,2、变换域求解,3、求反变换解,1. 复数A表示形式：,§8-2 复数,两种表示法的关系：,直角坐标表示,极坐标表示,或,2. 复数运算,则 A±B=(a1±b1)+j(a2±b2),(1)加减运算直角坐标,若 A=a1+ja2， B=b1+jb2,加减法可用图解法。,(2) 乘除运算极坐标,若 A1=|A1| 1 ，若A2=|A2| 2,乘法：模相乘，角相加；除法：模相除，角相减。,复数运算加法：平行四边形法则减法乘法除法共轭,例：,(3) 旋转因子：,复数 ej =cos +jsin =1,A ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故把 ej 称为旋转因子。,ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej= 1 故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。,§8-3 振幅相量,正弦稳态分析的重要性相量分析法是专用以分析正弦稳态电路的变换方法,为什么要研究正弦信号 ?,主要考虑以下几点：,1. 正弦量是最简单的周期信号之一，同频正弦量在加、减、微分、积分运算后得到的仍为同频正弦量；,2. 正弦信号应用广泛（如市电，载波等）；,3. 非正弦量用傅立叶级数展开后得到一系列正弦函数。,正弦量的基本概念,一. 正弦量的三要素,正弦量的表达式：,f(t)=Fmcos(w t+),Fm, w, 这3个量一确定，正弦量就完全确定了。所以，称这3个量为正弦量的三要素,波形：,(1) 振幅：反映正弦量变化幅度的大小。,(2) 角频率w(rads-1)： 反映正弦量变化快慢。 即相角随时间变化的速度。,正弦量的三要素：,相关量：,频率f （Hz）：每秒重复变化的次数。,周期T (s)：重复变化一次所需的时间。,f =1/T,市电：f=50Hz, T=1/50=0.02(s), w=2/T=2f=314rad/s,(3) 初相位 ：反映了正弦量的计时起点。,(w t+ )相位角 初相位角，简称初相位。,一般规定：| | 即： - < 初相位是由f(t)=Fmcos(w t+)确定，若原用sin表示，求初相位时应先化为cos形式在求,令t=0 f(0)=Fmcos =2n ±arccosf(0)/Fm ， 可能为多值。,例： f(t)=Fmsin(t+/2 )，其初相位 /2.而应化 为cos形式，即： f(t)=Fmsin(t+/2 )= Fmcost, 故初相位=0,同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。,例： f(t) = Fmsin(t+/6) = Fmcos(/2- t- /6) = Fmcos(/3- t) = Fmcos(t -/3) 故初相位 = -/3,二. 相位差：两个同频率正弦量相位角之差。,设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i),则相位差 = (w t+ u)- (w t+ i)= u- i, 若 >0，则 u 超前 i 相位角，或i 滞后 u 相位角 。, 若 <0，则i 超前u相位角 ，或u 滞后i 相位角 。,从波形图上看相位差可取变化趋势相同点来看。, =0， 同相：, =± (180o ) ，反相：,规定： | | (180°),特例：, = /2：u 超前 i /2, 不说 u 滞后 i 3 /2； i 滞后 u /2, 不说 i 超前 u 3 /2。, = /2, 正交:,1. 用旋转相量表示正弦量,即：任意一个正弦时间函数都可以用一个在复平面上以角速度绕原点旋转的向量与其对应。, t+0,2. 用固定相量表示正弦量,同一正弦电路，各支路响应的频率相同，故只需标明各量振幅及初相位关系。如：,u1(t)=U1mcos(t+1) u2(t)=U2mcos(t+2),正弦信号的相量表示,（不变）,故可用复平面上的固定相量来对应特定的正弦量。,对应一个正弦量的向量称为相量, 用大写字母上加一点表示。相量上加一点是为了和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系) ，因为它表示的不是一般意义的向量，而是对应了一个正弦量。,3. 相量的复数表示及运算,(1)固定相量的四种表示方法：,（实轴投影）,或写成：,(2) 旋转相量的复数表示,例.,解：,已知, 试分别写出i1,i2对应的振幅相量。, 求i(t)=i1(t)+i2(t)的瞬时表达式。,将 i1、i2化为标准cos形式:, 振幅相量：,（由相量形式写时域形式）,例.,4. 相量运算,(1) 同频率正弦量相加减,故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。,这实际上是一种变换思想,例,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,(2) 正弦量的微分，积分运算,证明：,将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变换思想，由时域变换到复数域：,时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自变量分析电路。,复数域：在变量经过适当变换的条件下研究网络。,相量法：将正弦时间函数 “变换” 为相量后再进行分析, 属于变换域分析。,5. 相量法的应用,求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解),例,一阶常系数线性微分方程,自由分量(齐次方程解)： Ae-R/L t,强制分量(特解)：Imcos(w t+i),w t+u=w t+ i+qi=u-qq =tg-1(w L/R),用相量法求：,小结, 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。, 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。,（1）唯一性：对 则（2）线性性：若 、 为任一同频率相量，为任意实数。可加性：齐次性：,§8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式,若,则：,对相量,（3）微分性：,（4）定理：任意个角频率相同的正弦量的代数和或者任意个该类正弦量的任意阶导数和，必然是具有相同角频率的正弦量。以上性质奠定了电路向量分析的基础,（最大值相量）,基尔霍夫定律的向量形式,（有效值相量）,（有效值相量）,（最大值相量）,例：,解：,（注：不能写为 ）,例：,由于各电压量均为同频率的正弦波，可用相量表示,解：,在关联参考方向下，线性时不变电阻、电容、电感的VCR分别为在正弦稳态电路中，这些元件的电压、电流都是同频率的正弦波,§8-5 三种基本电路元件VCR的相量形式,时域形式 相量形式,例：电容C=0.5F，流过电流,求电容电压。,例：电感L=4H，两端电压,求电感电流。,§8-6 VCR相量形式的统一阻抗和导纳,元件在正弦稳态时电压相量与电流相量之比定义为该元件的阻抗，阻抗的倒数定义为导纳,电阻,电容,电感,阻抗,导纳,（电容）容抗,称为电抗,称为电纳,（电感）感抗,容纳,感纳,正弦稳态电路分析中元件约束关系即用阻抗和导纳来描述。,§8-710 正弦稳态电路的相量分析,由于相量形式的基尔霍夫定律和欧姆定律与电阻电路中同一定律的形式完全相同，分析线性电阻电路的一些公式和方法完全可以用到正弦稳态电路的分析中来。其差别仅仅在于电压电流用相应的相量替换，电阻和电导用阻抗和导纳替换。下面将举例说明网孔分析，节点分析，叠加原理和戴维南定理在正弦稳态分析中的应用。,相量模型,相量模型是一种运用相量能方便地对正弦稳态电路进行分析、计算的假想模型。它和原正弦稳态电路具有相同的拓扑结构，但各元件要用其阻抗（或导纳）表示。模型中电压、电流都是原电路各正弦电压、电流的相量，参考方向仍与原电路相同。相量模型求解只用解复代数方程，无需求解微分方程,相量分析步骤,建立相量模型，给出各电压、电流的相量表示以及元件的阻抗（或导纳）类比电阻电路分析，得出各相量的解根据求得的相量写出相应的时域正弦波,例 已知,试求电流i1(t),解：先求出电路的相量模型，如右图所示，其中,1. 支路分析 以支路电流作为变量，列出图(b)所示相量模型的KCL和KVL方程,求解得到,由电流相量得到相应的瞬时值表达式,2. 网孔分析 假设网孔电流如图 (b) 所示，用观察法列出网孔电流方程,求解得到,由电流相量得到相应的瞬时值表达式,选择参考节点如图，用观察法列出节点电压方程,3. 节点分析 为了便于列写电路的结点电压方程，画出采用导纳参数的相量模型，如图所示，其中,求解得到,最后求得电流,4. 叠加定理 叠加定理适用于线性电路，也可以用于正弦稳态分析。画出两个独立电压源单独作用的电路，如图所示。,用分别计算每个独立电压源单独作用产生的电流相量，然后相加的方法得到电流相量,5. 戴维南定理 戴维南定理告诉我们：含独立源的单口网络相量模型可以用一个电压源和阻抗Zo串联电路代替，而不会影响电路其余部分的电压和电流相量。,先求出连接电感的单口网络的戴维南等效电路。 (1) 断开电感支路，由此求得端口的开路电压,(2) 将电路中两个独立电压源用短路代替，得到图(b)电路，由此求得单口网络的输出阻抗,用戴维南电路代替单口网络得到图(c)所示电路，由此求得,解：画出图(a)电路的相量模型，如图(b)所示，其中,1. 网孔分析,求解得到,设两个网孔电流如图所示。,用观察法直接列出网孔电流方程,2. 结点分析 将相量模型中的电流源和阻抗串联单口网络简化等效为电流源，并交换阻抗与电压源的位置,用观察法直接列出结点电压方程,求解得到,再用相量形式的KVL方程求出电流,例 电路如图(a)所示，已知,试用网孔分析、结点分析和戴维南定理计算电流i2(t)。,解：画出图(a)的相量模型，如图(b)所示，其中,设两个网孔电流 ，用观察法直接列出网孔电流方程,1.网孔分析,补充方程,求解得到,2.结点分析,补充,求解得到,(1)由右图电路求端口的开路电压 。先求电流,求解得到,3.用戴维宁定理求解,(2) 用外加电流源求端口电压的方法，由电路求输出阻抗Zo。列出支路电流方程,于是,得到图示等效电路,§8-11 有效值 有效值相量,周期电流、电压的瞬时值是时变的，电工技术中往往不需要知道其瞬时值，就需要规定一个表征其大小的特定值。考虑到周期电流（压）和直流电流（压）施加于电阻时都要消耗能量，据此为周期波规定一个特定值。周期电流在一个周期内耗能等于直流电流 I 的耗能时，I 就称为周期电流 i 的有效值,有效值与最大值间关系,有效值,方均根值,对正弦波,因此,正弦稳态分析中有效值相量与最大值相量间的关系,