电路分析基础6一阶电路

电路分析基础,教师：张 闯,专业基础课,第六章 一阶电路,只含一个动态元件的线性时不变电路，用线性、常系数的一阶常微分方程描述，称为一阶电路微分方程的建立电路全响应零状态响应零输入响应阶跃响应,§6.1 分解方法在动态电路中的运用,分解方法戴维南（诺顿）等效电路,N,1,+,-,u,i,C,N2,动态电路的方程,RC串联电路,电路中开关的接通、断开或者电路参数的突然变化等统称为“换路”。,根据KVL列出电路的回路电压方程为,由于,代入并整理得,RL并联电路,RLC串联电路,若仍以电容电压uC(t)作为电路响应，根据KVL可得,由于,一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的常微分方程是n阶的，称为n阶电路。,电路量的初始值计算,把电路发生换路的时刻记为t0，把换路前一瞬间记为t0-，而把换路后一瞬间记为t0+。当t=t0+时，电容电压uC和电感电流iL分别为,若在t=t0处，电容电流iC和电感电压uL为有限值，则电容电压uC和电感电流iL在该处连续，它们不能跃变。,若选择 t0=0,根据置换定理，在t=t0+时，用电压等于u(t0+)的电压源替代电容元件，用电流等于iL(t0+)的电流源替代电感元件，独立电源均取t=t0+时的值，即可求初始值。,换路定律：电路在t0 时刻换路时，电容电压uC 和电感电流 iL 在该时刻连续，不能跃变。,例 电路如图(a)所示。在开关闭合前， 电路已处于稳定。当t=0时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。,(1) 求开关闭合前的电容电压uC(0-)。由于开关闭合前电路已处于稳定，uC(t)不再变化，duC/dt=0，故iC=0，电容可看作开路。t=0-时电路如图所示,(2) 画出0+等效电路。根据换路定律有,(3) 由0+等效电路，计算各电流的初始值,例 电路如图(a)所示，t=0时开关S由1板向2，在t0时电路处于稳定。求初始值i1(0+)、 i2(0+)和uL(0+)。,(1) 由t0时的电路，求iL(0-)。,(2) 画出0+等效电路。根据换路定律，有,(3) 由0+等效电路，计算各初始值。,求初始值的步骤如下： (1) 由t0时的电路， 求出uC(0-), iL(0-)； (2) 画出0+等效电路； (3) 由0+等效电路，求出各电流、电压的初始值。,§6.2 零状态响应,叠加原理电路全响应零状态响应零输入响应,电路的零状态响应：电路的初始储能为零，仅由t0外加激励所产生的响应。,一阶RC电路的零状态响应,t0,其初始条件为,其特征方程为,齐次解特解,零状态,不同激励时动态电路的特解,令 具有时间量纲,即,称为动态电路的时间常数,电路在t0时，处于稳定状态，电容上的电压为0。当电路发生换路后，电容电压由uC(0+)逐渐上升到Us，我们把这一过程称为过渡过程，或称为暂态过程。当t时，过渡过程结束，电路又处于另一稳定状态。时间常数的大小反映了电路过渡过程的进展速度，越大，过渡过程的进展越慢。工程上可认为过渡时间为4。,不同时间常数的波形,齐次解,特解,一阶RL电路的零状态响应,零状态响应小结,直流电源或阶跃波作用下电路在t0时，物理过程实质是电路中动态元件的储能从无到有逐渐增长的过程。零状态电容电压和电感电流都是从零开始按指数规律上升到稳态值，时间常数分别为RC和L/R。稳态时电容相当于开路，电感相当于短路，据此可确定稳态值。零状态响应不必求解微分方程即可求得。,到达稳态后电容开路,零状态响应性质,若外施电源激励增大m倍，则零状态响应也增大m倍，这称为零状态响应比例性若有多个激励，则存在零状态响应叠加性零状态响应是输入的线性函数，简称零状态响应线性或比例性,单位阶跃函数单位阶跃函数用(t) 表示，其定义为,§6.3 阶跃响应,单位阶跃函数可以用来描述1V或1A的直流源接入电路的情况。例如1V电压源在t=0时接入电路，端口电压可表示为 1A电流源在t0时接入，则端口电流为,阶跃函数和延时阶跃函数,矩形脉冲分解,信号与阶跃相乘,一阶电路的单位阶跃响应,当激励为单位阶跃函数时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。,例 图(a)所示电路，若以电流 iL 求阶跃响应。,根据阶跃响应的定义，令us=(t)，它相当于1V电压源在t=0时接入电路，如图(b)所示，而且电路的初始状态iL(0+)=iL(0-)=0。,iL的稳态值为,时间常数为,阶跃响应为,线性电路既满足齐次性又满足叠加性，可表示为,如果电路元件的参数不随时间变化，则该电路为时不变电路。这时，电路的零状态响应的函数形式与激励接入电路的时间无关，即,时不变特性,电路的线性时不变特性，将给电路的计算带来许多方便。例如，若电路的激励为矩形脉冲信号，即,根据线性时不变特性，该电路的零状态响应为,例 电路及其激励is的波形如图所示。求uC的零状态响应。,故阶跃响应为,零状态响应为,激励和响应分别为,把外施激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电流和电压，称为动态电路的零输入响应。,一阶RC电路的零输入响应,§6.4 零输入响应,从物理意义看，零输入响应是依靠动态元件的初始储能进行的，当电路中存在耗能元件R时，储能最终将被耗尽，零输入响应终将为零。这是一切含有耗能元件的动态电路的零输入响应的特点。零输入响应可以看作是动态元件非零初始状态激励下的零状态响应。由初始状态和时间常数即可确定状态变量值,零输入响应性质,初始状态可以看成是电路的激励，若初始状态增大m倍，则零输入响应也增大m倍，这称为零输入响应比例性零输入响应是初始状态的线性函数，简称零输入响应线性或比例性,例 电路如图所示。t0时电路处于稳定， t=0时开关S打开。求t0 时的电流iL和电压uR、uL。,§6.5 线性动态电路的叠加原理,线性动态电路的叠加原理（1）全响应零状态响应零输入响应（2）零状态响应线性（3）零输入响应线性,例 t0时电路如图。R1，C1F，求响应uc(t), t 0,(1)is(t)=2A,uc(0)=1V;,(2)is(t)=3A,uc(0)=1V;,(3)is(t)=5A,uc(0)=1V;,(1)零状态响应：,零输入响应：,全响应：,(2)全响应：,(3)全响应：,例 t<0时电路稳定， t=0时开关闭合。求响应uc(t), t 0。若12V电源改为24V电源？,(1)初始值：,(3)零状态响应：,(2)时间常数：,(4)零输入响应：,(5)全响应：,(1)初始值：,(3)零状态响应：,(2)时间常数：,(4)零输入响应：,(5)全响应：,§6.6 三要素法,前面介绍的动态电路分析的基本方法是：首先求出状态变量，然后利用置换定理，求出电路中任意非状态变量。三要素法（也称视察法）是一种求解一阶电路的简便方法，可用于求解电路的任一变量的零输入响应和直流作用下的零状态响应、全响应，不论是状态变量与否。,一阶电路的完全响应,假若电路的初始状态不为零，同时又有外加激励电源的作用，这时电路的响应称为完全响应。对于线性电路而言，其完全响应等于零输入响应与零状态响应之和，即,假如电路的响应用y(t)表示，激励用f(t)表示，则一阶电路微分方程的一般形式可表示为,式中为一阶电路的时间常数。b为常数，其大小由电路结构和元件参数所决定。上式为一阶线性常系数非齐次微分方程。其齐次解为Ae-t/，其中A为待定常数。由于激励f(t)为直流电源，故其特解为常数，令yp(t)=K。这样上式的完全解为,将初始条件代入上式， 得,当t时，上式右端的第二项趋于零，于是得,y()称为响应的稳态值，它表示在直流电源作用下，t时的响应值。因此有,指数增长的电路波形,零初始值时,非零初始值时,指数衰减的电路波形,零稳态值时,非零稳态值时,三要素法的步骤,设已知电容电压初始值uc(0)或电感电流初始值iL(0)用电压为uc(0)的直流电压源置换电容或用电流为iL(0)的直流电流源置换电感，得到t=0时的置换电路，由此可得任一电压或电流的初始值y(0+)将电容开路或将电感短路，得到t=时的置换电路，由此可得任一电压或电流的稳态值y()求戴维南或诺顿等效电路，计算电路的时间常数利用三要素法公式计算,例 开关在t=0时闭合，求响应iL(t)、 i(t)， t 0,（1）求初始值,（2）求稳态值,（3）求时间常数,（4）运用三要素法公式,例 开关在t=0时切换，换路前稳态，求响应iL(t)、 i(t)， t 0,（1）求初始值,（2）求稳态值,（3）求时间常数,（4）运用三要素法公式,例 电路如图所示，t<0时电路处于稳态。t=0时S1打开，S2闭合。求电容电压uC和电流i.,i,求初始值uC(0+)和i(0+).,t=0-时，电容C相当于开路，故,t=0+时，电路如右图，故,(2) 求稳态值uC()和i(),(3) 求,(4) 用三要素法求uC和i,例 电路如图所示。t0时is=2A， t<0时is=0A, r=2 。求电流i(t), t0。,求初始值i(0+).,t=0-时，is=0，故,t=0时,(2) 求稳态值i(),t=时，电容开路,(3) 求,(4) 用三要素法求i(t),§6.7 瞬态和稳态,瞬态和稳态是电路从时间上划分的两种工作状态。当描述动态电路的变量或为不随时间而变的常量，或为随时间周期变化的量时，称此电路进入稳态直流稳态、交流稳态瞬态往往明显地具有从一种稳态或工作状态进入另一种稳态或工作状态的特征，又称过渡过程,假如电路的响应用y(t)表示，激励用f(t)表示，则一阶电路微分方程的一般形式可表示为,式中为一阶电路的时间常数。b为常数，其大小由电路结构和元件参数所决定。上式为一阶线性常系数非齐次微分方程。其齐次解为Ae-t/，其中A为待定常数。由于激励f(t)为直流电源，故其特解为常数，令yp(t)=K。这样上式的完全解为,将初始条件代入上式， 得,当t时，上式右端的第二项趋于零，于是得,y()称为响应的稳态值，它表示在直流电源作用下，t时的响应值。因此有,例 t0时电路如图。R1，C1F，求响应uc(t), t 0,其中is(t)=2A,uc(0)=1V,稳态响应：,瞬态响应：,全响应：,从叠加观点：全响应零状态响应零输入响应从工作状态观点：全响应稳态响应瞬态响应,正弦电压源作用于RC电路,§6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,图示一阶RC电路，t=0时开关闭合。若电容电压的初始值uC(0)=U0，电压源为,令,由图可知,若使上式等号两端相等，必须满足,完全解：,利用初始条件确定常数A， 即,t > 0,uC(t)波形,t > 0,零状态响应,本章内容回顾,分解方法在动态分析中的运用零状态响应阶跃响应零输入响应线性动态电路的叠加原理三要素法瞬态和稳态正弦激励的过渡过程和稳态,作业,P235：8、9、11、14、15、28、33,