极限与函数的连续性(1)
1复习一 极限与函数的连续性1. 理解极限的概念 了解无穷小与无穷大的概念 了解高阶无穷小和等价无穷小的概念 理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念 了解函数间断点的概念. 2. 掌握极限的有理运算法则 会用两个重要极限 会用等价无穷小求极限 会用罗必塔法则求极限 3. 会讨论分段函数在分段点的连续性 会求函数的间断点 会判断间断点的类型 会用零点定理讨论方程的根的存在性 例 1. 下列函数在指定的变化过程中 ( )是无穷小量 (A) (B) (C)ln(1x)(x1) (D) 1e)xsin ()x1(0)x解 在 A 中 当 x时 101ex在 B 中 当 x时 |sin x|1 故选 B sin0在 C 中 当 x1 时 ln(1x) ln 2 在 D 中 00limli1xx例 2 当 x0 时 是 x 的( )23sin(A)低阶无穷小 (B)同阶但不等价的无穷小 (C)等价无穷小 (D)高阶无穷小解 因为 所以 是 x 的同阶但23001si1limlm(3sin)xxx231sinx不等价无穷小 因此选 B 注 当 x0 时 x 是无穷小 是有界函数 所以 sin0limsx例 3. 下列各式中极限正确的是( ) (A) (B) (C) (D) 10lim)xx1li()exx10li()exx01li()exx解 要根据重要极限 或 来判断 正确的选择是 C 0lixxlix例 4. 下列有关函数 的间断点及类型说法正确的是( )2()3fx2(A) x1 是该函数跳跃性间断点 (B) x1 不是该函数的间断点(C) x2 是该函数的无穷间断点 (D) x2 是该函数的可去间断点.解 x1 和 x2 是间断点 ()()3xf因为 所以 x1 是可去间断点.111limlilim()2xxxf因为 所以 x2 是无穷间断点 故选择 B 22li)li3xxf例 5 _ 20ln(1)isx解 因为 是初等函数 在 x0 处有定义 故在 x0 处连续 所以当 x0 时函li()数极限就是函数在 x0 处的值 即 220ln1l()ims()six例 6. 若 在 x0 处连续 则 a =_tan2e()rcsixxf解 f(0)ae2x|x0a. tan00001etantnlim()lilim2lircsixxxxf要使函数 f(x)在 x0 处连续 必须 故 a2. 0li()xf例 7. 求极限 .20e1limcosx解法 1 用等价无穷小代换 因为当 x0 时 所以2ex 21x 2002lili11cosxx解法 2 用罗必塔法则 3 22 220000(e1)e1elimlilimliecoscossnsinxx xx例 7. 求极限 .2liartnxx解 当 x0 时 x2 是无穷小 有界函数 所以 1rcta201limarctn0xx例 8. 求极限 .13lim()x解 331 3li()li()li(1)li()e1xxxxx 例 9. 求极限 0()e解 (当 x0 时 e x1x )011lim()li)xxx(用罗必塔法则 )2elix 001lilixx例 10. 讨论 在 x0 处的连续性1e,()sin,xf解 因为 (注 当 x0时 )100lim()li(e)xxf11e0x (注 当 x0 时 是无穷小乘有界函数)arcsin1xarcsinf(0)1 即 0li()xf所以 f(x)在 x0 处连续. 例 11. 证明方程 xsin x+2 至少有一个不超过 3 的正根.证 设 f(x)xsin x2 因为 f(x)在0 3上连续 且f(0)20 f(3)1sin30 4由零点定理 至少存在一点 (0 3) 使 f( )0 即 sin 20. 因此 xsin x+2 至少有一个不超过 3 的正根.练习一一、填空与选择题1当 x0 时, 与 4x23x3 等价的无穷小量是 ( )(A)4x2 (B)3x2 (C)3x3 (D)4x3 2下列极限正确的是( )(A) (B) (C) (D) 0limsn1xsinl1x1limsnx01lisnx3 _ 5()n4设 , 则函数 f(x)在( )210()12xxf(A)x0 x1 处间断 (B)x0 x1 处连续 (C)x0 处间断, x1 处连续 (D)x0 处连续, x1 处间断 5x0 是函数 的( )cos,()f(A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点6若 在 x0 处连续 则常数 a b 应满足的关系是_2()sinabxf二、计算题1求极限 .24limtan()x2求极限 .201lisx3求极限 .elinxx4求极限 231lim(cos)x5求极限 .0liin56求极限 .10lim()xx7求极限 .128求极限 .2li()xx9求极限 m110求极限 .sinl(e)xx三、讨论题与证明题1讨论 的连续性21,0()xfx2证明方程 x5+x10 至少有一个正根.
