2015年中考数学复习专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形(含参考答案)

第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形 1 、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形 2 、等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证，讨论角时应主要底角只被为角】4、等边三角形的性质： 等边三角形的每个内角都都等于等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、 等边三角形的判定：有三个角相等的三角形是等边三角形有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒： 1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、 有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合。2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一 个直角三角形的两直角边为a、b 斜边为 c 则a、b、c 满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c 满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒： 1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合 2 、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据， 3、勾股数，列举常见的勾股数三组、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：直角三角形两锐角直角三角形斜边的中线等于在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法有一个角是的三角形是直角三角形有两个角的三角形是直角三角形如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒： 直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：角的平分线例 1 （2014? 遂宁）如图， AD是ABC中BAC的角平分线， DE AB于点 E，SABC=7 ，DE=2 ，AB=4 ，则 AC长是（）A3 B4 C 6 D5 思路分析： 过点 D作 DF AC于 F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=DF ，再根据ABCABDACDSSSVVV列出方程求解即可考点二：线段垂直平分线例 2 （2014? 台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线 L 为 BC的中垂线，直线 M为ABC的角平分线， L 与 M相交于 P点若A=60 ，ACP=24 ，则 ABP的度数为何（）A24 B30 C32 D36 思路分析： 根据角平分线的定义可得ABP= CBP ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP ，再根据等边对等角可得CBP= BCP ，然后利用三角形的内角和等于180列出方程求解即可考点三：等腰三角形性质的运用例3 （2014?徐州） 如图， 在等腰三角形纸片ABC中， AB=AC ， A=50 ，折叠该纸片，使点 A落在点 B处， 折痕为 DE ， 则CBE=_ 思路分析： 由 AB=AC ，A=50 ，根据等边对等角及三角形内角和定理，可求得 ABC的度数，又由折叠的性质，求得ABE的度数，继而求得 CBE的度数考点四：等边三角形的判定与性质例 4 （2014? 温州）如图，在等边三角形ABC中，点 D ，E 分别在边 BC ，AC上，DE AB ，过点 E作 EF DE ，交 BC的延长线于点 F（1）求F的度数；（2）若 CD=2 ，求 DF的长思路分析： （1）根据平行线的性质可得EDC= B=60 ，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证 EDC 是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解考点五：三角形中位线定理例 5 （2014? 湘潭）如图， AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点 C，连接 AC 、BC ，再取它们的中点D、E，测得 DE=15米，则 AB= （）米A7.5 B15 C22.5 D 30 思路分析： 根据三角形的中位线得出AB=2DE ，代入即可求出答案考点六：直角三角形例 6 （2014? 宁波）如图，正方形ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D在CG上，BC=1 ，CE=3 ，H是 AF的中点，那么 CH的长是（）A2.5 B5 C322 D2 思路分析： 连接 AC 、CF，根据正方形性质求出AC 、CF ，ACD= GCF=45 ，再求出ACF=90 ，然后利用勾股定理列式求出AF ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可考点七：勾股定理例 7 （2014? 无锡）如图，ABC中，CD AB于 D，E是 AC的中点若AD=6 ，DE=5 ，则 CD的长等于 _思路分析： 由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角 ACD 中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可【聚焦山东中考】1 （2014? 淄博）如图，矩形纸片ABCD 中，点 E 是 AD的中点，且AE=1 ，BE的垂直平分线MN恰好过点 C则矩形的一边AB的长度为（）A1 B2 C3 D2 2 （2014? 潍坊）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于 x 的一元二次方程2120 xxk的两个根，则 k 的值是 （）A27 B36 C27 或 36 D 18 3 （2014? 泰安）如图， ACB=90 ，D为 AB的中点，连接 DC并延长到 E，使 CE=13CD ，过点 B作 BF DE ，与 AE的延长线交于点 F若AB=6 ，则 BF的长为（）A6 B7 C8 D10 4 （2014? 滨州）下列四组线段中， 可以构成直角三角形的是 （）A4，5，6 B 1.5 ，2，2.5 C2，3，4 D1，2，3 5 （2014? 枣庄）如图， ABC中，AB=4 ，AC=3 ，AD 、AE分别是其角平分线和中线，过点C作 CG AD于 F，交 AB于 G ，连接 EF，则线段EF的长为（）A12 B1 C72D7 【备考真题过关】一、选择题1（2014? 盐城）若等腰三角形的顶角为40，则它的底角度数为（）A40B50C60D702 （2014? 广东）一个等腰三角形的两边长分别是3 和 7，则它的周长为（）A17 B15 C13 D13 或 17 3 （2014? 黄石）如图，一个矩形纸片， 剪去部分后得到一个三角形，则图中 1+2 的度数是（）A30B60C90D1204（2014? 张家界）如图，在RtABC中， ACB=60 ，DE是斜边AC的中垂线，分别交 AB 、 AC于 D、 E两点 若 BD=2 ， 则 AC的长是 （）A4 B4 3 C8 3D8 5 （2014? 广州）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD ，转动这个四边形， 使它形状改变， 当B=90 时，如图 1，测得 AC=2 ，当B=60 时，如图 2，AC= （）6 （2014? 宜昌）如图， A，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了 A、B间的距离：先在AB外选一点 C，然后测出 AC ，BC的中点 M ，N，并测量出 MN 的长为 12m ， 由此他就知道了A、B间的距离有关他这次探究活动的描述错误的是（）AAB=24m BMN AB C CMN CAB DCM ：MA=1 ：2 7 （2014? 扬州）如图，已知 AOB=60 ，点 P在边 OA上，OP=12 ，点 M ，N在边 OB上，PM=PN，若 MN=2 ，则 OM= （）A3 B4 C5 D6 8 （2014? 西宁）如图，在 ABC中，C=90 ， B=30 ，AD平分CAB 交 BC于点 D，E为 AB上一点，连接 DE ，则下列说法错误的是（）ACAD=30 BAD=BD CBD=2CD DCD=ED 9 （2014? 黔南州）如图，在 ABC中，ACB=90 ，BE平分 ABC ，ED AB于 D如果A=30 ，AE=6cm ，那么 CE等于（）A3cm B2cm C3cm D4cm 10 （2014? 淮安）如图，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A5 B6 C7 D25 11（2014? 玉林）在等腰 ABC中，AB=AC ，其周长为 20cm ，则 AB边的取值范围是（）A1cm AB 4cm B5cm AB 10cm C4cm AB 8cm D4cm AB 10cm 12 （2014? 十堰）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ，DE BC ，垂足为点 E，连接 AC交 DE于点 F，点 G为 AF的中点， ACD=2 ACB 若DG=3 ，EC=1 ，则 DE的长为（）A2 3 B10 C22 D6二、填空题13 （2014? 广州）已知 OC是AOB 的平分线，点 P在 OC上，PD OA ，PE OB ，垂足分别为点D、E，PD=10 ，则 PE的长度为 _14 （2014? 宿迁）如图，在 RtABC中，ACB=90 ，AD平分BAC与 BC相交于点 D ，若 BD=4 ，CD=2 ，则 AB的长是_. 15 （2014? 长春）如图，在ABC中，C=90 ，AB=10 ，AD是ABC的一条角平分线若CD=3 ，则ABD的面积为 _. 16 （2014? 乐山）如图，在 ABC中，BC边的中垂线交 BC于 D，交AB于 E若 CE平分 ACB ，B=40 ，则 A= _度17 （2014? 钦州）如图， ABC中， A=40 ，AB的垂直平分线 MN交 AC于点 D，DBC=30 ，若 AB=m ，BC=n ，则 DBC 的周长为 _ 18 （2014? 郴州）如图，在 ABC 中，若 E是 AB的中点，F是 AC的中点， B=50，则 AEF=_. 19 （2014? 东营）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高 6 米，两树相距 8 米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 _米20 （2014? 遂宁）已知：如图，在 ABC 中，点111ABC，分别是 BC 、AC 、AB的中点，222ABC，分别是111111B CA CA B，的中点，依此类推若 ABC的周长为 1，则nnnA B CV的周长为 _. 三、解答题21. （2014? 浙江杭州，第 18 题，8 分）在 ABC中，AB=AC ，点 E，F分别在 AB ，AC上，AE=AF ，BF与 CE相交于点 P求证： PB=PC ，并直接写出图中其他相等的线段22.（2014? 菏泽） （1）在ABC中，AD平分BAC ，BD AD ，垂足为D，过 D作 DE AC ，交 AB于 E，若 AB=5 ，求线段 DE的长. 第十八讲等腰三角形与直角三角形答案【重点考点例析】考点一：角的平分线例 1 解：如图，过点 D作 DF AC于 F，AD是ABC中BAC 的角平分线， DE AB ，DE=DF ，由图可知，S ABCS ABDS ACDVVV，1242+12AC 2=7，解得 AC=3 故选 A考点二：线段垂直平分线例 2 解：解：直线 M为ABC的角平分线，ABP= CBP 直线 L 为 BC的中垂线，BP=CP ，CBP= BCP ，ABP= CBP= BCP ，在ABC中，3ABP+ A+ACP=180 ，即 3