北京市高考数学模拟试卷理科

第 1 页（共 23 页）2019 年北京市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）已知集合 A=x|0 x 3，xN，B=x|y=?2- 9，则集合 A （?RB）=（）A1，2B1，2，3C0，1，2D （0，1）2 （5 分）以下说法正确的有（）（1）y=x+1?（xR）最小值为 2；（2）a2+b2 2ab 对 a，bR恒成立；（3）ab0 且 cd0，则必有 acbd；（4）命题 “ ?xR，使得 x2+x+10”的否定是 “ ?xR，使得 x2+x+10”；（5）实数 xy 是1?1?成立的充要条件；（6）设 p，q 为简单命题，若 “ pq” 为假命题，则 “ pq” 也为假命题A2 个B3 个C4 个D5 个3 （5 分）若双曲线 C：?2?2?2?2=1（a0，b0）的一条渐近线被圆x2+y24x=0 所截得的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为（）A2B3C2D2 334 （5 分）已知? = 2 ?10?，函数?(?) = ?(?+ ?)(? 0，? 0，|?|?2)的部分图象如图所示，则函数 ?(? -?4) + ? 图象的一个对称中心是（）A(-?12，1)B(?12，2)C(7?12，1)D(3?4，2)第 2 页（共 23 页）5 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，?=?3，AB=2，AD=1，若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点，且满足?=?= ? ，其中 0，1，则?的取值范围是（）A0，3B1，4C2，5D1，76 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A83B163C8D3237（5 分） 阅读右面的程序框图， 运行相应的程序，若输入 N 的值为 24， 则输出 N 的值为 （）A0B1C2D3第 3 页（共 23 页）8 （5 分）已知函数 f（x）=?2- ? + 3，? 1? +2?，? 1，设 aR，若关于 x 的不等式 f（x）|?2+a|在 R上恒成立，则 a 的取值范围是（）A4716，2B4716，3916C23，2D23，3916二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）已知 a 是实数， i 是虚数单位，若 z=a21+（a+1）i 是纯虚数，则 a=10 （5 分）某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10 组，每组罚球 40 个命中个数的茎叶图（如图） 则罚球命中率较高的是11 （5 分）抛物线 y2=ax（a 0）的准线与 x轴交于点 P，直线 l 经过点 P，且与抛物线有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是12 （5 分）若两曲线 y=x21 与 y=alnx1 存在公切线，则正实数a 的取值范围是13（5 分） 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和， 若 S250， S260， 则数列?1?1，?2?2，?，?25?25的最大项是第项14 （5 分）已知函数f（x）满足对任意的xR 都有 ?(12+ ?) + ?(12- ?)= 2成立，则?(18) + ?(28) + ? + ?(78)=三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13分）已知函数 f（x）=23sin（ax?4）cos（ax?4）+2cos2（ax?4） （a0） ，且函数的最小正周期为?2（）求 a 的值；（）求 f（x）在0，?4上的最大值和最小值16 （13 分）如图，已知长方形ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为 DC 的中点，将 ADM 沿AM 折起，使得平面ADM平面 ABCM（1）求证： ADBM；第 4 页（共 23 页）（2） 若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，二面角 EAMD 的余弦值为2 5517 （14 分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“ 诚信水站 ” ，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用 “周实际回收水费周投入成本” 表示每周 “ 水站诚信度 ” ，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92% 95%96% （1）计算表中十二周 “ 水站诚信度 ” 的平均数 ? ；（2）分别从表中每个周期的4 个数据中随机抽取1 个数据，设随机变量X 表示取出的 3 个数据中“ 水站诚信度 ” 超过 91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（3） 已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“ 以诚信为本” 的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由18 （13分）已知函数 f（x）=ex+x2x，g（x）=x2+ax+b，a，bR（1）当 a=1 时，求函数 F（x）=f（x）g（x）的单调区间；（2）若曲线 y=f（x）在点（ 0，1）处的切线 l 与曲线 y=g（x）切于点（ 1，c） ，求 a，b，c 的值；（3）若 f（x） g（x）恒成立，求 a+b 的最大值19 （14分）设椭圆?2?2+?2?2=1（ab0）的离心率 e=12，左焦点为 F，右顶点为 A，过点 F 的直线交椭圆于 E，H 两点，若直线 EH 垂直于 x 轴时，有 |EH|=32（1）求椭圆的方程；第 5 页（共 23 页）（2）设直线 l：x=1 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B（B 异于点 A） ，直线 BQ 与 x 轴相交于点 D若 APD 的面积为 62，求直线 AP 的方程20 （13 分）对于数列A：a1，a2，an，若满足 ai0 ，1（i=1，2，3，n） ，则称数列 A 为“0 1 数列” 若存在一个正整数k（2 k n1） ，若数列 an 中存在连续的 k 项和该数列中另一个连续的k 项恰好按次序对应相等，则称数列an是“ k 阶可重复数列 ” ，例如数列 A：0，1，1，0，1，1，0因为 a1，a2，a3，a4与 a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列 an是“4阶可重复数列 ” （）分别判断下列数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1是否是 “5 阶可重复数列 ” ？如果是，请写出重复的这5 项；（）若项数为 m的数列 A 一定是 “3 阶可重复数列 ” ，则 m 的最小值是多少？说明理由；（III ）假设数列 A 不是“5 阶可重复数列 ” ，若在其最后一项 am后再添加一项 0 或 1，均可使新数列是 “5 阶可重复数列 ” ，且 a4=1，求数列 an的最后一项 am的值第 6 页（共 23 页）2019 年北京市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）已知集合 A=x|0 x 3，xN，B=x|y=?2- 9，则集合 A （?RB）=（）A1，2B1，2，3C0，1，2D （0，1）【分析】 先分别求出集合 A 和 B，从而得到 CRB，由此能求出集合A （?RB） 【解答】 解：集合 A= x|0 x 3，xN=1 ，2，3，B= x|y=?2- 9= x|x 3 或 x 3 ，CRB=x|3x3 ，集合 A （?RB）=1，2故选： A【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用2 （5 分）以下说法正确的有（）（1）y=x+1?（xR）最小值为 2；（2）a2+b2 2ab 对 a，bR恒成立；（3）ab0 且 cd0，则必有 acbd；（4）命题 “ ?xR，使得 x2+x+10”的否定是 “ ?xR，使得 x2+x+10”；（5）实数 xy 是1?1?成立的充要条件；（6）设 p，q 为简单命题，若 “ pq” 为假命题，则 “ pq” 也为假命题A2 个B3 个C4 个D5 个【分析】 逐项判断即可（1）当 x0 时易知结论错误；（2）作差即可判断；（3）根据两边都为正数的同向不等式的可乘性易得； （4）根据特称命题的否定形式即可判断； （5）取特殊值易得； （6）根据复合命题的真值易得【解答】 解：（1）当 x0 时函数 ?(?) = ? +1?= -(-?)+1-? -2 ，无最小值，故（ 1）错误；第 7 页（共 23 页）（2）a2+b22ab=（ab）2 0 对任意实数 a，b 都成立， a2+b2 2ab 对任意实数 a，b 恒成立，故（ 2）正确；（3）根据不等式的性质易知（3）正确；（4）根据特称命题的否定形式知，命题“ ?xR，使得x2+x+10”的否定应为 “ ?xR，x2+x+10” ，故（ 4）错误；（5）取 x=1，y=1 满足 xy，但1?1?，故（ 5）错误；（6）若 pq 为假命题，则 p，q 都为假命题，所以 p，q 都为真命题，所以 pq 为真命题，故（ 6）错误综上可得正确命题为（ 2） （3） 故选： A【点评】本题考查了充分必要条件的判断、复合命题真假的判断以及不等式的相关知识其中命题（ 1）容易出现错误，应用基本不等式应注意符号属于易错题3 （5 分）若双曲线 C：?2?2?2?2=1（a0，b0）的一条渐近线被圆x2+y24x=0 所截得的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为（）A2B3C2D2 33【分析】 通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可【解答】 解：双曲线 C：?2?2?2?2=1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆 x2+y24x=0 即为（ x2）2+y2=4 的圆心（ 2，0） ，半径为 2，双曲线的一条渐近线被圆x2+y24x=0 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为：22- 12=|2?| ?2+?2，解得：4?2-4?2?2=3，由 e=?，可得 e2=4，即 e=2故选： A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力4 （5 分）已知 ? = 210?，函数?(?) = ?(?+ ?)(? 0，? 0，|?|?2)的部分图象第 8 页（共 23 页）如图所示，则函数 ?(? -?4) + ? 图象的一个对称中心是（）A(-?12，1)B(?12，2)C(7?12，1)D(3?4，2)【分析】 利用定积分求出 a 的值，根据函数 f（x）的图象求出 f（x）的解析式，再利用三角函数的图象与性质求f（x?4）+a 的对称中心【解答】 解：? = 2 10?=212x2|01=1，函数?(?) = ?(?+ ?)(? 0，? 0，|?|?2)的图象知，A=2，?4=?3?12=?4，T=2?= ，解得 =2 ；又 2?12+=?2，解得 =?3；f（x）=2sin（2x+?3） ，f（x?4）+a=2sin（2x?6）+1；令 2x?6=k ，kZ，则 x=?12+?2，kZ，当 k=1 时，x=7?12，f（x?4）+a 的一个对称中心为（7?12，1） 故选： C【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是中档题5 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，?=?3，AB=2，AD=1，若 M、N 分别是边 BC、第 9 页（共 23 页）CD 上的点，且满足?=?= ? ，其中 0，1，则?的取值范围是（）A0，3B1，4C2，5D1，7【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围【解答】 解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0） ，A（0，0） ，D（12，32） ?=?= ? ， 0，1，?=?+ ?=?+ ?=M（2+?2，32 ） ，即 M（2+?2， 32 ） ；?=?+