14基本初等函数与初等函数

§1.4 基本初等函数与初等函数·幂函数·指数函数与对数函数·三角函数与反三角函数·初等函数基本初等函数下列五类函数统称为基本初等函数,它们是我们在中学阶段已经熟知的，在此只作简要复习一、幂函数(power functions )( 为任意实常数 )yx幂函数 的定义域要依 的具体取值来确定.当1, 23, , 2时是最常用的幂函数(如图 1-8,图 1-9). 时, 的0yx图形必过原点 和点 ，在 内单调递增且无(0,)(1,)(0,)界二、指数(exponential function)和对数函数1.指数函数 (0,1)xya指数函数 的定义域是 ，值域,)x (,)是 其图形在 轴上方，并通过点 当(0,)01时，函数在定义域内单调递增且无界，曲线向左无限1a接近 轴负半轴；当 时，函数在定义域内单调递减x01a且无界，曲线向右无限接近 轴正半轴(如图 1-10).函数x与 的图形关于 轴对称 .常用的是指数函数xyaxyay,其中底数是无理数 .e 2.718 2 459 0e2. 对数函数 log(0,)ayx对数函数 的定义域是 ，值域,)(,)是 ，图形在 轴右方，且通过点 当 时，(,)y101a函数在定义域内单调增加且无界，曲线向下无限接近 y图 1-10 图 1-11轴的负半轴；当 时，函数在定义域内单调减少且无01a界，曲线向上无限接近 轴正半轴(如图 111)y常用的是以 为底的对数函数,称为自然对数函数，记e为 lnyx三、三角函数与反三角函数1. 三角函数 (1)正弦函数 ,定义域为 ，值域为sinyx(,)，是以 为周期的奇函数(如图 112)1,2(2)余弦函数 ,定义域为 ，值域为cosyx(,)，是以 为周期的偶函数(如图 113),图 112 图 113(3)正切函数 ，定义域为tanyx，值域为 ，以(0,12,)2xk (,)为渐近线，在定义域内无界,是以(,)为周期的奇函数(如图 114)(4)余切函数 ，定义域为cotyx，值域为 ，以(0,12,)xk (,)为渐近线，在定义域内无界，是以(0,12,)xk为周期的奇函数(如图 115)图 114 图 115 三角函数中还包括正割函数 和余割函数secyxcsyx2. 反三角函数xysecxycs(1)反正弦函数 ，定义域为 ，值域为arcsinyx1,，它是奇函数，在定义域内单调递增而且有界(如,2图 116)(2)反余弦函数 ，定义域为 ，值域arcosyx1,为 ，在定义域内单调递减，而且有界(如图 117)0,图 116 图 117(3)反正切函数 ，定义域为 ，值arctnyx(,)域为 ，它是奇函数，在定义域内单调递增而且有界，,2有两条渐近线 (如图 118)2y(4)反余切函数 ，定义域为 ，值域arcotx(,)，它在定义域内单调递减而且有界，有两条渐近线0,和 轴(如图 119)yx 图 118 图 119四、初等函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.