考研数学(三)第一部分微积分章节练习(上)
考研数学(三)第一部分微积分章节练习(上)(江南博哥)第一节 函数、极限、连续第二节 一元函数微分学第三节 一元函数积分学第四节 多元函数微分学第一部分 微积分第一节 函数、极限、连续1单选题A.跳跃B.可去C.无穷D.振荡正确答案:B参考解析:2单选题设函数f(x)在1,2上有二阶导数,f(1)=f(2)=0,F(x)-(x-1)2f(x),则F''(x)在(1,2)内A.没有零点B.至少有一个零点C.有两个零点D.有且仅有一个零点正确答案:B参考解析:F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f'(x),由f(1)=f(2)=0知,F(1)=F(2)=0,故存在(1,2),使F'()=0,于是根据F'(1)=0,F'()=0知在(1,2)内至少存在一点,使得F"()=0,故正确答案为B。3单选题A.极限存在但不连续B.连续但不可导C.可导D.是否可导与a的取值有关正确答案:D参考解析:4单选题A.B.C.D.正确答案:D参考解析:因为5单选题函数f(x)=|xsinx|ecosx,x(-,+),是()A.单调函数B.周期函数C.偶函数D.有界函数正确答案:C参考解析:对函数f(x)取绝对值得|f(x)|=|x|sinx|ecosx,其中|sinx|不恒等于0,ecosx>0,故根据|x|可断定f(x)不是有界函数,也不是周期函数,再由f(0)=0,f(/2)=/2,f()=0,可知f(x)不是单调函数,对任意x(-,+),有f(-x)=|(-x)sin(-x)|ecos(-x)=f(x)。故f(x)是偶函数,C正确。6单选题设当x+时,f(x),g(x)都是无穷大,则当x+时,下列结论正确的是()A.f(x)-g(x)是无穷小B.f(x)+g(x)是无穷大C.D.正确答案:D参考解析:7单选题设当x0时,(x-sinx)tanx是比ln(1+xn)高阶的无穷小,而ln(1+xn)是比x2高阶的无穷小,则n=()A.4B.3C.2D.1正确答案:B参考解析:由已知,4>n且n>2,故,n=38单选题设y=y(x)是方程y+2+y=e3x的解,且满足y(O)=(0)=0,则当x0时,与y(x)为等价无穷小的是()A.sinx2B.sinxC.ln(1+x2)D.正确答案:D参考解析:依题设,有9单选题下列结论中错误的是()A.B.C.D.正确答案:D参考解析:10单选题下列极限存在的是()A.B.C.D.正确答案:D参考解析:对于D:由于故由夹逼准则,可知原极限等于1,D正确11单选题A.数列xn单调增,但是没有极限B.数列xn)单调增,且有极限C.数列xn)单调减,但是没有极限D.数列xn单调减,且有极限正确答案:B参考解析:12单选题“f(x)在x0点连续”是|f(x)|在x0点连续的A.充分条件,但不是必要条件B.必要条件,但不是充分条件C.充分必要条件D.既不是充分,也不是必要条件正确答案:A参考解析:13单选题A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件正确答案:B参考解析:当f(0)=0时,14单选题以下四个命题中,正确的是A.若(x)在(a,b)内连续,则f(x)在(a,b)内有界B.若f(x)在(a,b)内连续,则f(x)在(a,b)内有界C.若(x)在(a,b)内有界,则f(x)在(a,b)内有界D.若f(x)在(a,b)内有界,则(x)在(a,b)内有界正确答案:C参考解析:方法1 举例否定错误的命题15单选题函数y=f(x)在(-,+)内连续,其二阶导函数的图形如图所示,则y=f(x)的拐点的个数是A.1B.2C.3D.4正确答案:C参考解析:16单选题A.单调上升B.单调下降C.为常数D.有两个单调性区间正确答案:C参考解析:归结为求f'(x)17单选题A.B.C.D.正确答案:C参考解析:18单选题下列命题正确的是A.若(x0,y0)为f(x,y)的极值点,则(x0,y0)必为f(x,y)的驻点B.若(x0,y0)为f(x,y)的驻点,则(x0,y0)必为f(x,y)的极值点C.若(x0,y0)为有界闭区域D上连续的函数f(x,y)在D内部唯一的极值点,且f(x,y)在该点取极大值,则f(x,y)在点(x0,y0)取得它在D上的最大值D.若f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值,则f(x,y0)在x=x0处取极小值,f(x0,y)在y=y0处取极小值正确答案:D参考解析:由f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值及极值的定义可知,f(x,y0)在x=x0取极小值,f(x0,y)在y=y0处取极小值,D正确。19单选题函数f(x,y)=kx2+y3-3y在点(0,1)处A.取极大值B.取极小值C.不取得极值D.是否取得极值与k取值有关正确答案:D参考解析:fx'=2kx,fy'=3y2-3,显然fx'(0,1)=0,fy'(0,1)=0,fxx"(0,1)=2k,fyy"(0,1)=6,fyy"(0,1)=0,AC-B2=12k,则f(x,y)在点(0,1)处是否取得极值与K的取值有关。20单选题函数f(x)=|xsinx|ecosx,-<x<+是()A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数正确答案:D参考解析:显然函数为偶函数,选(D)81简答题参考解析:【证明】第二节 一元函数微分学1单选题奇函数f(x)在闭区间-1,1上可导,且|f'(x)|M(M为正常数),则必有A.|f(x)|MB.|f(x)|>MC.|f(x)|MD.|f(x)|<M正确答案:C参考解析:由于f(x)为奇函数,故f(0)=0f(x)在以0,x为端点的区间上用拉格朗日中值定理,有|f(x)|=|f(x)-f(0)|=|f'()|x-0|M·1故对任意x-1,1,|f(x)|M2单选题f(x)=(x2+3x+2)|x3-x|不可导点的个数为()A.1B.2C.3D.4正确答案:B参考解析:f(x)=(x+2)(x+1)|x+1|x|x-1|,3单选题A.0B.1C.2D.3正确答案:C参考解析:由可知有水平渐近线y=1与铅直渐近线x=04单选题设f(x)在(1-,1+)(>0)内存在导数,(x)严格单调减少,且f(1)=(1)=1,则()A.在(1-,1)和(1,1+)内,均有f(x)<xB.在(1-,1)和(1,1+)内,均有f(x)>xC.在(1-,1)内,f(x)<x;在(1,1+)内,f(x)>xD.在(1-,1)内,f(x)>x;在(1,1+)内,f(x)<x正确答案:A参考解析:比较f(x)与x的大小,考虑作差构造新函数,利用单调性求解5单选题设f(x)在x=0的某邻域内有定义,则F(x)=f(x)|sinx|在x=0处可导的充要条件是()A.B.C.f(x)在x=0处可导D.正确答案:D参考解析:故D正确6单选题设f(x)在(-+)内可导,则下列命题正确的是()A.B.C.D.正确答案:D参考解析:涉及f(x)与f'(x)的极限,考虑用拉格朗日中值定理7单选题A.0B.1C.2D.3正确答案:C参考解析:8单选题若f(-x)=-f(x),且在(0,+)内f'(x)>0,f''(x)>0,则在(-,0)内()A.f'(x)<0,f”(x)<0 B.f'(x)<0,f”(x)>0C.f'(x)>0,f”(x)<0 D.f'(x)>0,f”(x)>0正确答案:C参考解析:因为f(x)为奇函数,所以f'(x)为偶函数,故在(-,0)内有f'(x)>0,因为f''(x)为奇函数,所以在(-,0)内f''(x)<0,C正确。9单选题设f(x)=x2e-x,则()A.f(x)有一个极大值点,没有极小值点B.f(x)有一个极小值点,没有极大值点C.f(x)有一个极大值点,一个极小值点D.f(x)没有极大值点,也没有极小值点正确答案:C参考解析:令f'(x)=(2x-x2)e-x=0得x=0,x=2,当x<0时,f'(x)<0,当0<x<2时,f'(x)>0,当x>2时,f'(x)<0,则x=0为极小值点,x=2为极大值点,C正确。10单选题设函数f(x)二阶可导,且f'(x)>0,f”(x)>0,y=f(x+x)-f(x),其中x<0,则()A.y>dy>0B.y<dy<0C.dy>y>0D.dy<y<0正确答案:D参考解析:根据微分中值定理,y=f(x+x)-f(x)=f'()x<0(x+x<<x),dy=f'(x)x<0,因为f''(x)>0,所以f'(x)单调增加,而<x,所以f'()<f'(x),于是f'()x>f'(x)x,即dy<y<0,D正确。11单选题当x0,1时,f''(x)>0,则f'(0),f'(1),f(1)-f(0)的大小次序为()A.f'(0)>f(1)-f(0)>f'(1)B.f'(0)<f'(1)<f(1)-f(0)C.f'(0)>f'(1)>f(1)-f(0)D.f'(0)<f(1)-f(0)<f(1)正确答案:D参考解析:由拉格朗日中值定理得f(1)-f(0)=f'(c)(0<c<1),因为f''(x)>0,所以f'(x)单调增加,故f'(0)<f'(c)<f'(1),即f'(0)<f(1)-f(0)<f'(1),D正确。12单选题设f(x)在x=a处的左、右导数都存在,则f(x)在x=a处()A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续正确答案:D参考解析:因为f(x)在x=a处右可导,所以当x趋向于a+的时候,f(x)-f(a)/x-a存在,于是当x趋向于a+时,f(x)=f(a),即f(x)在x=a处右连续,同理,由f(x)在x=a处左可导,得f(x)在x=a处左连续,故f(x)在x=a处连续,由于左、右倒数不一定相等。D正确。13单选题设f(x)为二阶可导的奇函数,且x<0时有f''(x)>0,f'(x)<0,则当x>0时有()A.f''(x)<0,f'(x)<0B.f''(x)>0,f'(x)>0C