2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析（江南博哥）1单选题当x0时，x-tanx与xk是同阶无穷小，则k=()A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：因为x-tanx，若要x-tanx与xk是同阶无穷小，则k=3，故选C项2单选题已知方程x5-5x+k=0有3个不同的实根，则k的取值范围是()A.(-，-4)B.(4，+)C.-4，4D.(-4，4)正确答案：D参考解析：设f(x)=x5-5x+k，则f(x)=5x4-5，令f(x)=0，得x=±1由题意知，f(x)=0有3个实根，在(-，-1)，(-1，1)，(1，+)上分别具有1个实根，又f(-)=-，f(-1)=4+k，f(1)=-4+k，f(+)=+，f(-1)=4+k>0，f(l)=-4+k<0，故-4<k<43单选题已知微分方程y”+ay'+by=cex的通解为y=(C1+C2x)e-x+ex，则a，b，c依次为()A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，4正确答案：D参考解析：由条件知特征根为1=2=-1，特征方程为(1)(2)=2+2+1=0，故a=2，b=1，而y*=ex为特解，代入得c=4，故选D项4单选题A.B.C.D.正确答案：B参考解析：5单选题设A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程Ax=0的基础解系中只有2个向量，则A*的秩是()A.0B.1C.2D.3正确答案：A参考解析：Ax=0的基础解系中只有2个向量，4-r(A)=2，则r(A)=2，r(A*)=0，故选A项6单选题设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E，且|A|=4，则二次xTAx的规范形为()A.B.C.D.正确答案：C参考解析：设A为A的特征值，由A2+A=2E得2+=2，解得=-2或1，所以A的特征值是1或-2又因为|A|=4，所以A的三个特征值为1，-2，-2，所以二次型xTAx的规范形为，故选c项7单选题设A，B为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件是()A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P()正确答案：C参考解析：因为P(A)=P(A)-P(AB)，P(B)=P(B)一P(AB)，所以P(A)=P(B)P(A)=P(B)，故选C项8单选题设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(，2)，则P|X-Y|<1()A.与无关，而与2有关B.与有关，而与2无关C.与，2都有关D.与，2都无关正确答案：A参考解析：因为XYN(0，22)，所以P|XY|<1=9填空题参考解析：【解析】10填空题参考解析：(，-2)【解析】y=sin x+xcosx-2sinx=x cos x-sin xy”=cos x-x sin x-cos x=-x sin x令y”=0，得x=0，x=又在x=0的左右两侧，y”<0，故(0，2)不是拐点11填空题参考解析：【解析】12填空题A、B两商品的价格分别表示为PA、PB，设A商品的需求函数QA=500-，则当PA=10，PB=20时，商品A的需求量对自身价格需求弹性(>0)=_参考解析：04【解析】13填空题，若线性方程组Ax=b有无穷多解，则a=参考解析：1【解析】当a=1时，r(A)=r(A)=2<3，方程组Ax=b有无穷多解，故a=114填空题设连续型随机变量x的概率密度为F(X)为x的分布函数，E(X)为X的数学期望，则PF(X)>E(X)-1=_参考解析：【解析】解法一15简答题参考解析：解：16简答题设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数g(x，y)=xy-f(x+y，x-y)，求参考解析：解：17简答题设函数y(x)是微分方程满足条件y(1)=的特解(I)求y(x)；(II)设平面区域D=(x，y)|1x2，0yy(x)，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积参考解析：解：(I)18简答题求曲线Y=e-xsinx(x0)与x轴之间围成的图形的面积参考解析：解：19简答题(I)证明：数列an单调递减，且()参考解析：解：(I)20简答题参考解析：解：21简答题(I)求x，y；()求可逆矩阵P使得P-1AP=B参考解析：解：(I)22简答题设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为PY=-1=P，PY=1=1-p，(0<p<1)，令Z=XY(I)求Z的概率密度；()p为何值时，X与Z不相关?(III)X与Z是否相互独立?参考解析：解：23简答题设总体X的概率密度为其中是已知参数，>0是未知参数，A是常数，X1，X2，Xn是来自总体X的简单随机样本(I)求A；()求2的最大似然估计量参考解析：解：