考研数学二第二部分线性代数章节练习

考研数学二第二部分线性代数章节练习（江南博哥）第一节 行列式第二节 矩阵第三节 向量第四节 线性方程组第五节 特征值与特征向量第六节 二次型第一节 行列式1、单选题A.4.B.-4.C.16.D.-16.正确答案：D参考解析：由拉普拉斯展开式2、单选题设四阶矩阵A=，2，3，4，B=，2，3，4，其中，2，3，4均为4维列向量，且|A|=1，|B|=-1，则|A+2B|=A.-27.B.27.C.81.D.-81.正确答案：A参考解析：由于A+2B=+2，32，33，34，有|A+2B|=33|+2，2，3，4|           =27|，2，3，4|+|2，2，3，4|           =27|A|+2|B|=-273、单选题下列行列式中，行列式的值不等于24的是A.B.C.D.正确答案：D参考解析：4、单选题A.24B.-24C.48D.-48正确答案：D参考解析：选(D)5、单选题设1，2，3，1，2都是四维列向量，且|A|=|1，2，3，1|=m，|B|=|1，2，2，3|=n，则|3，2，1，1+2|为()A.m+nB.m-nC.-(m+n)D.n-m正确答案：D参考解析：选(D)6、单选题已知2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D等于()A.0B.a2C.-a2D.na2正确答案：A参考解析：不妨设第一列元素及余子式都是a，则D=a11A11+a21A21+.a2n,1A2n,1=a2-a2+.-a2=0，A正确7、填空题参考解析：8、填空题设三阶矩阵A=(，1，2)，B=(，1，2)，其中，1，2是三维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|=_.参考解析：由5A-2B=(5，51，52)-(2，21，22)=(5-2，31，32)，得|5A-2B|=|5-2，31，32|=9|5-2，1，2|=9(5|，1，2|-|，1，2|)=639、填空题设A为三阶矩阵，且|A|=3，则|(-2A)*|=_.参考解析：10、填空题参考解析：11、填空题设A，B均为n阶方阵，|A|=2，|B|=-3，则|A-1B*-A*B-1|=_参考解析：【解析】12、填空题设三阶方阵A=A1，A2，A3，其中Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且A的行列式|A|=-2，则行列式|-A1-2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1|=_.参考解析：12【解析】13、单选题 M43+M44=（）A.-28B.28C.14D.-14正确答案：A参考解析：故原式=-2814、单选题设1，2，3，1，2均是4维列向量，且4阶行列式|(1，2，3，1)|=a，|(1，2，2，3)|=b，则行列式|(3，2，1，1+2)|=（）A.a+bB.a-bC.b-aD.-(a+b)正确答案：C参考解析：15、单选题设1，2，1，2，3均是4维列向量，且|A|=|(1，1，2，3)|=1，|B|=(2，1，32，3)|=3，则|A+B|=（）A.15B.16C.31D.32正确答案：D参考解析：16、单选题A.4B.-4C.1D.-l正确答案：B参考解析：由分块矩阵求逆，得17、填空题参考解析：a+1或a-2【解析】18、填空题参考解析：13【解析】19、填空题设A是n阶方阵，且AAT=E，|A|<0，则|A+E|=_.参考解析：0【解析】20、填空题设A=(aij)n×n为行阶方阵，|A|=1，且A的每列元素之和均为k(k0)，则A的代数余子式之和A11+A12+A1n=_参考解析：【解析】21、填空题参考解析：【解析】22、填空题设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，当m>n时，|AB|=_参考解析：0【解析】23、填空题参考解析：【解析】24、填空题设A是3阶方阵，1，2，3线性无关，且A1=1+2，A2=2+3，A3=3+1，则|A|=_.参考解析：2【解析】解法1解法2利用矩阵的乘法及相似矩阵的性质25、简答题参考解析：Dn的各列元素之和相等，用行加法26、简答题参考解析：Dn为三对角行列式，用递推法，将Dn按第1行展开27、简答题计算n阶行列式其中ai，bi均不为0参考解析：记Dn=D1+D2D1按第1列展开，得28、简答题参考解析：29、简答题参考解析：按第n行展开，用递推法30、简答题(1)计算D；(2)求M31+M33+M34参考解析：(1)(2)31、简答题参考解析：32、简答题参考解析：33、简答题参考解析：(1)2A11+A12-A13=2A11+A12-A13+0A14(2)第二节 矩阵1、单选题A，B都是n阶矩阵，下列命题中正确的是A.ABOAO且BOB.如AB=O，则必有A=O或B=OC.如AB=O，则|A|=0或|B|=0D.如AB=B，则A=E正确答案：C参考解析：  由行列式乘法公式| AB|=|A| |B|  当AB=O时，有|A| |B|=0所以|A|和|B|至少有一个为0，即(C)正确2、单选题已知A是任意一个n阶矩阵，则A+AT；A-AT；AAT；AA*；ATA上述矩阵中，对称矩阵一共有A.2个B.3个C.4个D.5个正确答案：C参考解析：(A+AT)T=AT+(AT)T=A+AT(AAT)T=(AT)TAT=AAT(ATA)T=AT(AT)T=ATAAA*=|A|E，所以均是对称矩阵而(A-AT)T=AT-(AT)T=-(A-AT)是反对称矩阵3、单选题下列矩阵中，初等矩阵是A.B.C.D.正确答案：D参考解析：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵是初等矩阵，而(A)(B)(C)均需要单位矩阵作两次初等变换才能得到4、单选题已知A是n阶可逆矩阵，若AB，则下列命题中ABBA，A2B2，A-1B-1，ATBT，正确的命题共有A.4个B.3个C.2个D.1个正确答案：A参考解析：由于矩阵A可逆，有5、单选题已知A，B，C均为n阶矩阵，则运算法则中错误的是A.(A+B)+C=(C+B)+AB.(AB)C=A(BC)C.(A+B)C=AC+BCD.A(B+C)=BA+CA正确答案：D参考解析：矩阵加法有交换律、结合律，(A)正确矩阵乘法有结合律，(B)正确矩阵加法乘法有分配律，(C)正确矩阵乘法没有交换律，(D)错误6、单选题A.OB.-EC.ED.E+T正确答案：C参考解析：7、单选题设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是()A.若A，B可逆，则A+B可逆B.若A，B可逆，则AB可逆C.若A+B可逆，则A-B可逆D.若A+B可逆，则A，B都可逆正确答案：B参考解析：若A，B可逆，则|A|0，|B|0，又|AB|=|A|B|，所以|AB|0，于是AB可逆，B正确。8、单选题设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则()A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=4正确答案：C参考解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4-1=3，选(C)9、单选题A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P1正确答案：D参考解析：10、单选题设为n阶矩阵，且|A|=0，则A()A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合D.任一列都是其余列向量的线性组合正确答案：C参考解析：因为|A|=0，所以r(A)<n，从而A的行个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)11、单选题设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是()A.矩阵A与单位矩阵E合同B.矩阵A的特征值都是实数C.存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵D.存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵正确答案：A参考解析：根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选(A)12、单选题设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则()A.当m>n时，必有|AB|0B.当m>n时，必有|AB|=0C.当n>m时，必有|AB|0D.当n>m时，必有|AB|=0正确答案：B参考解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)minm，n，r(B)minm，n，且r(AB)minr(A)，r(B)，所以r(AB)minm，n，故当mn时，r(AB)nm，于是|AB|=0，选B。13、单选题设A，B都是n阶可逆矩阵，则()A.(A+B)*=A*+B*B.(AB)*=B*A*C.(A-B)*-A*-B*D.(A+B)*一定可逆正确答案：B参考解析：因为(AB)*=|AB|(AB)-1=|A|B|B-1A-1=|B|B-1·|A|A-1=B*A*，所以B正确。14、单选题设A为n阶矩阵，A2=A，则下列结论成立的是()A.A=OB.A=EC.若A不可逆，则A=OD.若A可逆，则A=E正确答案：D参考解析：因为A2=A，所以A(E-A)=0，由矩阵秩的性质得r(A)+r(E-A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，选D。15、单选题设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有()A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0D.若|A|>0，则一定有|B