2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥）1单选题当x0+时，下列无穷小量中是最高阶的是()A.B.C.D.正确答案：D参考解析：2单选题A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：x=0，x=2，x=1，x=-1为间断点3单选题A.B.C.D.正确答案：A参考解析：令，则4单选题已知函数f(x)=x2ln(1-x)，当n3时,f(n)(0)=()A.B.C.D.正确答案：A参考解析：f(x)=x2ln(1-x)，n35单选题A.4B.3C.2D.1正确答案：B参考解析：6单选题设函数f(x)在区间-2，2上可导，且f'(x)>f(x)>0，则A.B.C.D.正确答案：B参考解析：由f'(x)>f(x)>0，x-2，2知 即lnf(x)一x'>0令F(x)=lnf(x)-x，则F(x)在-2，2上单调递增因为-2<-1，所以F(-2)<F(-1)，即lnf(2)+2<lnf(-1)+1， 同理，-1<0，F(-1)<F(0)，即ln f(-1)+1<ln f(0)，7单选题设四阶矩阵A=(aij)不可逆，a12的代数余子式A120，1，2，3，4为矩阵A的列向量组，A*为A的伴随矩阵，则方程组A*x=0的通解为()A.x=k11+k22+k33，其中k1，k2，k3为任意常数B.x=k11+k22+k34，其中k1，k2，k3为任意常数C.x=k11+k23+k34，其中k1，k2，k3为任意常数D.x=k12+k23+k34，其中k1，k2，k3为任意常数正确答案：C参考解析：因为A不可逆，所以|A|=0因为A120，所以r（A）=3，则r(A*)=1，故A*x=0的基础解系有3个线性无关的解向量因为A*A=|A|E=0所以A的每一列都是A*x=0的解又因为A120，所以1，3，4线性无关，故A*x=0的通解为x=k11+k23+k34，故选C项8单选题设A为三阶矩阵，1，2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，3为A的属于特征值-1的特征向量，则满足的可逆矩阵P为()A.(1+3，2，-3)B.(1+2，2，-3)C.(1+3，-3，2)D.(1+2，-3，2)正确答案：D参考解析：A1=1，A2=2，A3=-3 所以P的1，3两列为1的线性无关的特征向量1+2，2，P的第2列为A的属于-1的特征向量3则P=(1+2，-3，2)，故选D项9填空题参考解析：【解析】 10填空题参考解析：【解析】  11填空题参考解析：(-1)dx-dy【解析】 12填空题斜边长为2a的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为p，则该平板一侧所受的水的压力为_参考解析：【解析】建立直角坐标系，如图所示 13填空题参考解析：1【解析】特征方程2+2+1=0，14填空题参考解析：a44a2【解析】 15简答题参考解析：  因此，曲线的斜渐近线方程为16简答题已知函数f(x)连续，且，并证明g'(x)在x=0处连续参考解析：17简答题求二元函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值参考解析：求一阶导数可得  当x=0，y=0时，A=0，B=-1，C=0，ACB2<0，故(0，0)不是极值点当x=，y=时，A=1，B=-1，C=4，ACB2>0，且A=1>0，故(，)是极小值点18简答题参考解析： 所以×2-×x2得 19简答题设平面区域D由直线x=1，x=2，y=x与x轴围成，计算参考解析：积分区域如下图所示    20简答题设函数，证明：(I)()参考解析：证明：(I)构造辅助函数F(x)=f(x)(x-2)=(x-2)，显然F(1)=0，F(2)=0，又F(x)在1，2上连续，(1，2)上可导，由罗尔定理知(1，2)，使得F()=021简答题设函数f(x)可导，且f'(x)>0，曲线y=f(x)(x0)经过坐标原点0，其上任意一点M的切线与x轴交于T，又MP垂直x轴于点P已知由曲线y=f(x)，直线MP及x轴所围成的面积与MTP的面积之比为3：2，求满足上述条件的曲线的方程参考解析：设切点M坐标为(x，y)，则过M的切线方程为 Yy=Y(X-x)令Y=0得X=x- 由题意得 整理并求导得22简答题(I)求a的值；()求可逆矩阵P参考解析：(I)   23简答题设A为二阶矩阵，P=(，A)，其中是非零向量且不是A的特征向量(I)证明P为可逆矩阵；(11)若A2+A-6=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵参考解析：(I)0且不是A的特征向量，于是A， 故与A线性无关，则r(，A)=2，则P可逆(II)解法一 由已知有A2=-A+6，于是AP=A(，A)=(A，A2)=(A，-A+6) 因为P可逆， ，所以可得A的特征值也为-3，2于是A可相似对角化解法二：P-1AP同解法一由A2+A-6=0，得(A2+A-6E)=0，即(A+3E)(A-2E)=0，由0得(A2+A-6E)x=0有非零解，故|(A+3E)(A-2E)|=0，得|A+3E|=0或|A-2E|=0，若|A+3E|0，则有(A-2E)=0，故A=2与题意矛盾，故|A+3E|=0，同理可得|A-2E|=0于是A的特征值为1=-3，2=2，A有2个不同特征值，故A可相似对角化