2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案
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2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥）1单选题当x0时，x-tanx与xk是同阶无穷小，则k=( )A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：因为，若要x-tanx与xk是同阶无穷小，则k=3，故选C项。2单选题y=xsinx+2cosxx()的拐点坐标是()A.(0，2)B.(，-2)C.(,)D.正确答案：B参考解析：y'=sinx+xcosx-2sinx，y”=-xsinx，令y”=0得x=0，x=，又因为=-sinx-xcosx，将上述两点代入()0，所以(，-2)是拐点。3单选题下列反常积分发散的是()A.B.C.D.正确答案：D参考解析：对于A项： 4单选题已知微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x+ex，则a，b，c依次为()A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，4正确答案：D参考解析：由条件知特征根为1=2=-1，特征方程为(1)(2)=2+2+1=0，故a=2，b=1，而y*=ex为特解，代入得c=4，故选D项。5单选题已知平面区域，则I1，I2，I3的大小关系为( )。A.I3I2I1B.I2I1I3C.I1I2I3D.I2I3I1正确答案：A参考解析：因为6单选题已知f(x)，g(x)二阶导数存在且在x=a处连续，则是f(x)，g(x)相切于a且曲率相等的( )。A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件正确答案：A参考解析：必要性：f(x)，g(x)相切于a，则f(a)=g(a)，f'(a)=g'(a)，f(x)与g(x)相切于点a，且曲率相等，故选A项。7单选题设A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程Ax=0的基础解系中只有2个向量，则A*的秩是( )。A.0B.1C.2D.3正确答案：A参考解析：因为Ax=0的基础解系中只有2个向量，所以4-r（A）=2，则r（A）=2所以r(A*)=0，故选A项。8单选题设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E，且|A|=4，则二次型xTAx的规范形为()A.B.C.D.正确答案：C参考解析：设为A的特征值，由A2+A=2E得2+=2，解得=-2或1，所以A的特征值是1或-2又因为|A|=4，所以A的三个特征值为1，-2，-2，所以二次型xTAx的规范形为，故选C项。9填空题参考解析：4e2【解析】10填空题在对应点处的切线在y轴上的截距为_参考解析：【解析】 11填空题设函数f(u)可导，参考解析：【解析】12填空题函数y=lncosx(0x<)的弧长为（ ）。参考解析：【解析】13填空题已知函数参考解析：【解析】14填空题，Aij表示|A|中(i,j)的代数余子式，则A11-A12=_参考解析：-4【解析】15简答题参考解析： 16简答题参考解析：17简答题(I)求y(x)；()设平面区域D=(x，y)|1x2，0yy(x)，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。参考解析：18简答题参考解析：(x2+y2)3=y4的极坐标方程为r=sin2，由对称性知 19简答题设n是正整数，记Sn为y=e-xsinx(0xn)与x轴所围图形的面积，求Sn，并求参考解析：设区间k，(k+1)(k=0，1，2，n-1)上所围的面积记为uk，则20简答题已知函数u(x，y)满足，求a，b的值，使得在变换u(x，y)=v(x，y)eax+by之下，上述等式可化为函数v(x，y)的不含一阶偏导数的等式。参考解析：21简答题已知函数f(x)在0，1上具有二阶导数，且，证明：(I)存在(0，1)，使得f()=0；()存在(0，1)，使得f”()<-2参考解析：(I)设f(x)在处取得最大值，则由条件f(0)=0,f(1)=1，可知f()>1，于是0<<1，由费马引理得f'()=0(II)若不存在(0，1)，使f”()<-2，则对任何x(0，1)，有f”(x)-2，由拉格朗日中值定理得f(x)-f()=f'C(x-)，C介于x与之间，不妨设x<，f'(x)-2(x-)， 于是f()-f(0)<1，即f()<1，这与f()>1相矛盾，故存在(0，1)，使f”()<-222简答题参考解析：由等价的定义可知1，2，3都能由1，2，3线性表示，则有r(1，2，3)=r(1，2，3，1，2，3)对(1，2，3，1，2，3)作初等行变换可得： 当a=-1时，有r(1，2，3)<r(1，2，3，1，2，3)；当a=1时，有r(1，2，3)=r(1，2，3，1，2，3)=2；当a1且a-1时，有r(1，2，3)=r(1，2，3，1，2，3)=3；则当a=1或a1且a-1时，1，2，3可由1，2，3线性表示此时，要保证1，2，3可由1，2，3线性表示，对(1，2，3，1，2，3)作初等行变换可得 综上所述，当a-1时，向量组1，2，3与向量组1，2，3可相互线性表示23简答题(I)求x，y；()求可逆矩阵P使得P-1AP=B参考解析：(I)因为相似矩阵有相同的特征值，所以
