2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥）1单选题设1=x(cos-1)，2=ln(1+)，3=当x0+时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（）A.1，2，3B.2，3，1C.2，1，3D.3，2，1正确答案：B参考解析：因此，3个无穷小量从低阶到高阶的排序为2，3，12单选题（）A.B.C.D.正确答案：D参考解析：本题考查原函数与不定积分之间的关系3单选题（）A.收敛，收敛B.收敛，发散C.发散，收敛D.发散，发散正确答案：B参考解析：4单选题设函数f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则（）A.函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点B.函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点C.函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点D.函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点正确答案：B参考解析：导函数图形如右图所示，函数f(x)可能取得极值的点为：a，b，c，d(即导数值为零的点和不可导点)  5单选题设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且(x0)<0(i=1，2)若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有（）A.f1(x)f2(x)g(x)B.f2(x)f1(x)g(x)C.f1(x)g(x)f2(x)D.f2(x)g(x)f1(x)正确答案：A参考解析：本题考查曲线凹凸性和曲率的定义设f(x)具有二阶连续导数，若在点(x0，y0)处，曲线f”(x0)<0，则在x0的某邻域内，曲线f(x)是凸的曲线的曲率表示曲线在某一切点处弯曲程度的数值曲线的曲率越大，弯曲程度越大由于fi”(x0)<0(i=1，2)，且fi”(x0)连续，可知在x0的某邻域内，曲线f1(x)和f2(x)均是凸的而y=f1(x)与y=f2(x)在(x0，y0)处有公切线y=g(x)，可知曲线f1(x)和f2(X)都在公切线g(X)下方，且f1(x)g(x)，f2(x)g(x)又在点(x0，y0)处，曲线f1(x)的曲率大于曲线f2(x)的曲率，可知在该点的某邻域内，曲线f1(x)的弯曲程度大于曲线f2(x)的弯曲程度，则f1(x)f2(x)必成立综上所述f1(x)f2(x)g(x)因此A项正确6单选题（）A.B.C.D.正确答案：D参考解析：7单选题设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）A.AT与BT相似B.A-1与B-1相似C.A+AT与B+BT相似D.A+A-1与B+B-1相似正确答案：C参考解析：由于A与B相似，故存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP又BT=PTAT(P-1)T=PTAT(PT)-1，可知AT与BT相似又B-1=P-1A-1P，可知A-1与B-1相似又B+B-1=P-1(A+A-1)P，可知A+A-1与B+B-1相似8单选题设二次型f(x1，x2，x3)=a()+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则（）A.a>1B.a<-2C.-2<a<1D.a=1或a=-2正确答案：C参考解析： 9填空题_.参考解析：【解析】 10填空题_.参考解析：sin 1-cos 1【解析】11填空题以y=x2-ex和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为_.参考解析：y-y=2x-x2【解析】由题意知x2-(x2-ex)为对应齐次方程的解可知ex是齐次方程y+p(x)y=0的解，从而可得P(x)=-1设非齐次方程为y-y=f(x)，将y=x2代入，得f(x)=2x-x2因此所求一阶非齐次线性微分方程为y-y=2xx212填空题已知函数f(x)在(-，+)上连续，且f(n)(0)=_.参考解析：5·2n-1【解析】 13填空题已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P之间的距离为l，若点P的横坐标对时间的变化率为常数v0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是_.参考解析：【解析】 14填空题_.参考解析：2【解析】 15简答题参考解析：16简答题参考解析：17简答题已知函数z=z(x，y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0所确定，求z=z(x，y)的极值参考解析：18简答题参考解析：区域D如图中阴影所示，由图可知D关于y轴对称  19简答题已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x-1)y”-(2x+1)y+2y=0的两个解，若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)，并写出该微分方程的通解参考解析：20简答题参考解析：D的图形如右图所示，D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积可看作两个体积之差，即  21简答题(I)求f(x)在区间0，上的平均值；(II)证明f(x)在区间 (0，)内存在唯一零点参考解析：(I)由题设可得 22简答题(I)求a的值；(11)求方程组ATAx=AT的通解参考解析：(I)由于Ax=无解，可知|A|=0，即 23简答题(I)求A99；()设三阶矩阵B=(1，2，3)满足B2=BA记B100=(1，2，3)，将1，2，3分别表示为1，2，3的线性组合参考解析：(I)矩阵A的特征多项式为