（整理版）专题7：几何辅助线（图）作法探讨

【中考攻略】专题7：几何辅助线图作法探讨一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分复杂，假设通过适当的变换，即添加适当的辅助线图，将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，那么能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，原问题顺利获解。网络上有许多初中几何常见辅助线作法歌诀，下面这一套是很好的：人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接那么成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上假设有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。假设是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假设图形较分散，对称旋转去实验。根本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。在几何题的证明或求解时，需要构成一些根本图形来求证解时往往要通过添加辅助线图来形成，添加辅助线图，构成的根本图形是结果，构造的手段是方法。笔者从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线图作法归纳为结果1构造根本图形；2构造等腰边三角形：3构造直角三角形；4构造全等三角形；5构造相似三角形；6构造特殊四边形；7构造圆的特殊图形；方法8根本辅助线；9截取和延长变换；10对称变换；11平移变换；12旋转变换。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一、构造根本图形：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做根本图形，添辅助线往往是具有根本图形的性质而根本图形不完整时补完整根本图形。如平行线，垂直线，直角三角形斜边上中线，三角形、四边形的中位线等。等腰边三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四边形和圆的特殊图形也都是根本图形，但我们后面把它们单独表述。典型例题：例1. 湖北襄阳3分如图，直线lm，将含有45角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，假设1=25，那么2的度数为【 】A20 B25 C30 D35【答案】A。【考点】平行线的性质。【分析】如图，过点B作BDl，直线lm，BDlm。1=25，4=1=25。ABC=45，3=ABC4=4525=20。2=3=20。应选A。例2.四川内江3分如图，【 】A. B. C. D.【答案】B。【考点】平行的性质，三角形外角性质。【分析】如图，反向延长，形成4。 ，3=18004。 又2=14，即4=21。 。应选B。例3.广东梅州3分如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB，假设EC=1，那么EF= 【答案】2。【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。【分析】作EGOA于F，EFOB，OEF=COE=15，AOE=15，EFG=15+15=30。EG=CE=1，EF=21=2。例4.广东佛山3分依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形可认为是一般四边形的性质，那么这个图形一定是【 】 A平行四边形B矩形C菱形D梯形【答案】 A。【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。【分析】根据题意画出图形，如右图所示：连接AC，四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，HGAC，HG=AC，EFAC，EF=AC。EF=GH，EFGH。四边形EFGH是平行四边形。由于四边形EFGH是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以AC=BD或ACBD不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。应选A。 例5.江苏宿迁3分点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，假设ACBD，且ACBD，那么四边形EFGH的形状是 .填“梯形“矩形“菱形 【答案】矩形。【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。【分析】如图，连接AC，BD。 E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，根据三角形中位线定理，HEABGF，HGACEF。又ACBD，EHG=HGF=GFE=FEH=900。四边形EFGH是矩形。且ACBD，四边形EFGH邻边不相等。四边形EFGH不可能是菱形。例6.湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分如图，线段AC=n+1其中n为正整数，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到AME当AB=1时，AME的面积记为S1；当AB=2时，AME的面积记为S2；当AB=3时，AME的面积记为S3；当AB=n时，AME的面积记为Sn当n2时，SnSn1= 【答案】。【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。【分析】连接BE，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，BEAM。AME与AMB同底等高。AME的面积=AMB的面积。当AB=n时，AME的面积为，当AB=n1时，AME的面积为。当n2时，。例7.江苏镇江6分如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且GDF=ADF。1求证：ADEBFE；2连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。【答案】解：1证明：ADBC，ADE=BFE两直线平行，内错角相等。 E是AB的中点，AE=BE。 又AED=BEF，ADEBFEAAS。 2EG与DF的位置关系是EGDF。理由如下： ADE=BFE，GDF=ADF，GDF=BFE等量代换。GD=GF等角对等边。 又ADEBFE，DE=EF全等三角形对应边相等。EGDF等腰三角形三线合一。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】1由，应用AAS即可证明ADEBFE。 2由ADE=BFE，GDF=ADF可得GDF=BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由1ADEBFE可得DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得EGDF。例8.广西南宁10分如图，矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O1如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；2如图2，当AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；3如图2，在2的条件下，求折痕FG的长【答案】解：1由折叠的性质可得，GA=GE，AGF=EGF，DCAB，EFG=AGF。EFG=EGF。EF=EG=AG。四边形AGEF是平行四边形EFAG，EF=AG。又AG=GE，四边形AGEF是菱形。2连接ON，AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，AED的外接圆与BC相切于点N，ONBC。点O是AE的中点，ON是梯形ABCE的中位线。点N是线段BC的中点。3OE、ON均是AED的外接圆的半径，OE=OA=ON=2。AE=AB=4。在RtADE中，AD=2，AE=4，AED=30。在RtOEF中，OE=2，AED=30，。FG=。【考点】翻折变换折叠问题，折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】1根据折叠的性质判断出AG=GE，AGF=EGF，再由CDAB得出EFG=AGF，从而判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。2连接ON，那么ONBC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。 3根据1可得出AE=AB，从而在RtADE中，可判断出AED为30，在RtEFO中求出FO，从而可得出FG的长度。练习题：1. 宁夏区3分如图，C岛在A岛的北偏东45方向，在B岛的北偏西25方向，那么从C岛看A、B两岛的视角ACB 度2.浙江嘉兴、舟山5分在直角ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D，假设CD=4，那么点D到斜边AB的距离为 3.江苏南京8分如图，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点1求证：四边形EFGH为正方形；2假设AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。4. 湖南怀化3分如图，直线，1=40，2=60那么3等于 【 】A、100 B、60 C、40 D、205. 湖北恩施3分将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果=43，那么的度数是【 】 A、43B、47 C、30D、606. 广东茂名3分如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，那么村庄C到公路l2的距离是【 】A、3公里B、4公里 C、5公里D、6公里7. 辽宁辽阳3分如图，菱形ABCD的边长为2，BAD60，假设DEAB，垂足为点E，那么DE的长为 8. 贵