1990年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）

1990年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)卜=一 / + 2,(1)过点M(l,2, - 1)且与直线右=3/ -4,垂直的平面方程为_.z =上一1(2)设a为非零常数，则lim匸旦oo jr aM | 工 | V 设函数心T。*二则函数兀心沪(4)积分djrJ 02 曲=(5)已知向量组 a 1 (1,2,3,4) ,a2 = (2,3,4,5),a 3 = (3,4,5,6) ,a4 = (4,5,6,7),则该向量组的秩为_.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1)设/(工)为连续函数，F(_z)= /(z )dz,则 F(h)=( ).(A) -/(j;) (B) -eV(e_x ) + fCx)fCx)(C)eV(e-J) -/() (D)e/(ex) +/(J；)(2) 已知于(工)具有任意阶连续导数，且于(工)=(工)2,则当为大于2的正整数时JQ)的n n阶导数/(，)(工)=( ).(AM! 了(工)了+1 (B)n/(jr)n+1(C)y(_z)2” (D)“！ /(工)了(3) 设a为常数，则级数 (计磐：)( )(A)绝对收敛 (E)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a的取值有关(4) 已知f f (jt )在工=0的某邻域内连续，且/(0) = 0, lim 1 ) = 2,则在点x x =0处hO 1 cos x x心)( ).(A)不可导(C)取得极大值(B)可导，且 /(O) H 0(D)取得极小值1990年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 9 页（5）已知伤，02是非齐次线性方程组AX=b的两个不同解,ai,a2是对应的齐次线性方程组 4X= 0的基础解系,k,k,k,k2 2为任意常数，则方程组AX=bAX=b的通解为（ ）.B B 1 卩 2（A） ! a a ! + &2（。1 +。2）-Q Q-(B) a a! + 紅业)+01 +022（C）釧5 +紅（为+ “2）+：庆(D)Qai + 紅(0i -02)+-02)+趴严三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）ln( 1 + jc ) (2 jc )2g2（2） 设z z = = f f2 2工yysinz）,其中f f（ （u,vu,v）具有二阶连续偏导数，求一f-.dxdx dydy（3） 求微分方程yy + 4j/z + 4j/ = e2j的通解.四、（本题满分6分）求幕级数工（2“ + 1）工的收敛域，并求其和函数.n = 0五、（本题满分8分）求曲面积分I I =JJwdN（lz + 2dj?dydy ,其中X是球面工？ + y y2 2 + + / / = 4（n $ 0）的外侧.21990年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 9 页六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数十（工）在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导，且/（a）= fChfCh） ）, ,证明：在（a,6）内至少存在一点F，使得_/（） 0.七、（本题满分6分）设4阶矩阵8=1-100213401-10厂一0213001-1? V 002100010002.，且矩阵A满足关系式A（E -C B）tCt=E,其中E为4阶单位矩阵,（?t表示C的逆矩阵,表示C的转置矩 阵,将上述关系式化简并求矩阵A.八、（本题满分8分）求一个正交变换，化二次型f f （工 ,攵2 工3）=# +4工：+ 4jr 3 4工1工2 + 4 J7 1 J7 3 8 J7 23为 标准形.1990年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 9 页九、(本题满分8分)质点P P沿着以AE为直径的半圆周，从点A(l,2)运动到点(3,4)的过程中受到力F F的 作用(如图)，F的大小等于点P到原点O之间的距离，其方向垂直于线段OP,且与夕轴正向的夹角小于今,求变力F F对质点P P所做的功.十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分)(1) 已知随机变量X的概率密度函数为/(工)=*3,8工+oo,则随机变量X的概率分布函数为F F(工)_.(2) 设随机事件及其和事件A U B B的概率分别为0.4,0.3和0.6,设斤为事件B的对立事件,则P P (AB(AB) ) = =_. .2&(3) 已知离散型随机变量X X服从参数为2的泊松分布，即P P XX k k =： e2 (.k(.k = 0,1,2,)，k k ! !则随机变量Z =3X 2的数学期望E(Z) =_.H-、(本题满分6分)设二维随机变量(X ,Y)在区域D = (_z,y) |0工1, |工内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度及随机变量Z=2X + 1的方差D(Z).y y十二题图1990年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 9 页1990年数学（一）真题解析一、填空题（1） 【答案】x 3y z + 4 = 0.【解】 显然所求平面的法向量为n = -1,3,1,所求平面为一（乂 l） + 3（y 2） + （z + l） = 0,即 X 3y z + 4 = 0.（2） 【答案】e2a.【解】lim=lim(1-x-*o |_ 工2ar ax a（3）【答案】1.1, | 产（工）IW 1,0, | | 1. 因为丨八工）$ 1,所以兀/（工）=i.【解】兀2）=【解】改变积分次序得pdjr p e- dy =2 _ 2 e 0dy djJ o=fJ (、2 _ 2 ye 0120（5）【答案】2.【解】A = （af,a；,a；,cd）=因为r（A） = 2,所以该向量组的秩为2.二、选择题【答案】(A).【解】FQ) =/(亍)()一/(工)(2) 【答案】(A).【解】 由fCjc) =/(x)2得f (x ) = 2f(.x )/，(x ) = 2_f (x )3 , f(.x ) = 2 X 3/(x )2/ (x ) = 3 !由归纳法得 广(工)=n /(x)n+1，应选(A).(3) 【答案】(C).=-eV(e_J) -/(j:),应选(A).【解】因为sin na2 noo oow 且2 收敛，所以X n = 1 n=1叫巴绝对收敛 n因为工发散，所以 （巴n = 1 V Z7 n = 1in na 14nn2发散，应选（C）.（4）【答案】（D）.【解】因为lim , -X0 1 COS X=2,所以由极限保号性，存在S0,当0 |工|0.COS JC因为1 cosz 0,所以于Q） 0 = /（0）,故z = 0为极小值点，应选（D）.1990年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 9 页（5）【 【答案答案】（B）.【 【解解】 】 令 Qai + k2a x a2） = 0,即（紅 + 怡2巾1 k2a2 = 0,因为a j .a2线性无关，所以kx + k2 = 0, k2 = 0,或& i = 0,k2 = 0,即a ,a t a2线性无关，又因为5.5a2为齐次线性方程组AX = 0的解，所以a, .a, -a2为齐次线性方程组AX = 0的基础 解系；0 +0? 01 +0?而 工为非齐次线性方程组AX = b的解，故kax+ka -2）+ o 为AX = b的通解，应选（B）.（1） 【 【解解】罗+ ：九=ln（l + z）d（亠-）Jo （2 工）2 Jo 2 X /=ln（l+z） I1 f _1_2 z | o Jo （工一2）Q + 1）= ln2 + Tln|til|o = ln2_Tln2 = Tln 2-（2） 【 【解解】= 2/i + /cos x f；、oxd2 z亍p = 2（ ft + sin x ） + cos z ff2 + cos x （ + sin x 危）djc dy=一 2/n + （2sin x j/cos jc ） f2 + cos jc ff2 y sin x cos x f；2 （3） 【 【解解】 】 特征方程为A2 + 4A + 4 = 0,特征根为A !=入2 = 2.yf + yf + = 0 的通解为，=（C】 + C2 J： ）e2j ;令 yr，+ 4j/ + 4y = e2x 的特解为 y0） = ax2 e2x，代入得 a =故j/+ 4j/+ 4y = e力的通解为y = （G +C2Z）e% +y2e-2x（C1,C2 为任意常数）.四、【 【解解】 】 由恤|也| = 1得幕级数的收敛半径R = l,oo | an |当工=1 时，（2z? + l） （土 1） f（x f）,即 jc = + 1 时，幕级数发散，故幕级数的收敛域为（一1,1）令 SQ）=刀（2” + 1）才，n = 0则 S （工）=2x 丫 nx T + 工 jcn =2x（刀工）+ - n = 1 n = 0 n = 1 =2乂（宀），+亠=丄片1无丿 1 T （1 H）五、【 【解解】方法一令 50 ：z = 0（工 2 +j/ W 4）,取下侧，I =yzdzAjc + 2dr dy JJ yzdzdx + 2dx dy , *0 工0yzdzAx + 2djc dj = jjj*zd?7 =J 2 dJ r, -3sin 爭cos （pdr而工+工0007 .sin 卩 cos2r3 dr = 4兀o=2tc1990年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 9 页JJwdNchz + 2djr dy =2吐 dy = 2 故 / = 12tt.jj dz d;y = 8k ,2+/ g,由拉格朗日中值定理，存在w e(q,c)u a,b) ),使得/， = “)-空 0.c a七、【解】 由 A(E -CTB)TCT = E 得 ACC(E -C_1B)t = E,即 A(C B)T = E,解得A =(C B)tt ,1()21而c B=00001000121000III3210043210，得100O210032109、432L01000、0-210001210101-2100013423)T(C-B=120b00o0010001001000100L000 1 0 0-2 1 0A =1 -2 10 1 2八、【解】，则 f = XtAX,A 1由 I AE - A | = 22-2A -44=入2(入一9) = 0,得入 1 =入2 = 0,入 3 = 9,-24A -41990年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 9 页1200000/1_2由 0E-Ao得入1 = A 2 = 0对应的线性无关的特征向量为丄2令趴由9E000得入3 = 9对应的特征向量为3 = I 2 I 2 （力， ，0】）X = QY2_2_T则 f = xtax9易，所求的正交变换为X = QY,九、【解】 设点P的坐标为（乂，$） ,OP = x ,y, | F | = y/x2 y2因为F的方向垂直于OP且与y轴正向的夹角小于今,所”+ “F。W = J ( + 无 dy =y，乂而yL+BA(y ) dz + 工 dp +L+BA(+ xdy = 2山 dy = 2 X *兀(血)=2兀,D_ ( y ) dr + 工 dy 9 AB夕，无,AB：y =工+1(起点工=1,终点工=3),则J (-jOdz + jr dj/ =(x + 1) dj? + x dx = 2 ,故 w = 2（tt- 1）.十、填空题工V 0,（1）【答案】1 - Ter $ 0.【解】FQ) = PX 0=1990年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 8 页，共 9 页1 fx 1当hVO 时,F(jr ) = ex dx = ex ;L J oo Lfo & 112 1当工$0 时，F(z)= /(jc )dj： + /(z)dz= +牙 e x dx = 1-eJ -8 ) 0 2 2 J 0 2故 F(z ) = 51-e_T , z M 0.(2) 【