1987年全国硕士研究生考试数学（一）真题（原卷）

1987年全国硕士研究生招生考试数学（一）（科目代码：301）一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 卜=1,（1） 与两直线1 + /,及斗 =尹=千都平行，且过原点的平面方程为_z = 2 + /（2） 当z =_时，函数y y =攵2*取得极小值.（3） 由曲线与两直线夕=（e+ 1） 及y y =0所围成的平面图形的面积为_.（4） 设L为取正向的圆J； +夕2 = 9,则曲线积分$ （2巧2,y）djc + （x22,y）djc + （x2 4jr）dj/的值为（5）已知3维线性空间的一组基为s = （1,1,0）,。2 = （1,0,1）卫3 =（0,1,1）,则向量a = （2,0,0）在上述基底下的坐标为_二、（本题满分8分） x t2 x t2求正常数 a a 与b ,使得lim -:. = 1成立.x-*o bxbx sin J o !a _|_ 2三、（本题满分7分）（1）（本题满分3分）设函数f ,gf ,g连续可微，=y（m）=g（z +砂），求石茹./3 o（2）（本题满分4分）设矩阵A与B满足AB -A +2B,其中A =1 1o 10，求矩阵B.B.1987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 4 页四、(本题满分8分)求微分方程+ yr，+ yr，+ (9+ 0.五、 选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分)00 1 I(1) 设常数k0,k0,则级数工(一1)斗壬( ).n = l 九(A)发散 (E)绝对收敛(C)条件收敛 (D)收敛或发散与k k的取值有关(2) 设 I = I = ,其中 /(J?)为连续数,s0,t0,则 I I 的值( ).J 0(A)依赖于s,t (E)依赖于s ,ts ,t(C)依赖于t,工，不依赖于s (D)依赖于s,不依赖于/(3) 设lim 了 V-了:; ? = 1,则在点 x =ax =a 处( ).(A)/)可导且fa)fa) HO (B)/(j;)取得极大值(C”Q)取得极小值 (D”Q)的导数不存在(4) 设A为阶矩阵，且|A|=a HO,A*是A的伴随矩阵，则|A* | =( ).(A)a (B) (C)aT (D)aa a六、 (本题满分10分)求密级数 2込T的收敛域，并求其和函数.n = 1 九 21987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 4 页七、（本题满分10分）计算曲面积分 / = JJz (83/ + 1 )dj/dz + 2(1 y2 )dzdj： 4yz clzdy,其中 S S 是由曲线s sFi(lw0=0（夕W 3）绕夕轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与夕轴正向的夹角大八、（本题满分10分）设函数于（工）在闭区间0,1上可微，对于0,1上的每个工，函数的值都在区间（0,1）内, 且frfr （j;） H 1,证明：在（0,1）内有且仅有一个x x，使得f O x.f O x.九、（本题满分8分）JC j X 2 +工3 + 工4 = 0,Z 2 + 2工 3 + 2j? 4=1,问a,b为何值时，线性方程组丿 / 、 有唯一解？无解？有无穷多个xx 2 + （a 3）a: 3 2攵4 = b,3x 1 + 2工 2 + 広 3 + az 4 1 解？并求出有无穷多个解时的通解.1987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 4 页十、填空题(本题共3小题，每小题2分，共6分)(1) 假设在一次试验中，事件A发生的概率为p,现进行兀次独立试验，则A至少发生一次的概率为_，而事件A至多发生一次的概率为_.(2) 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出1个球,这个球为白球 的概率等于_.已知取岀的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为_1 2(3) 已知连续型随机变量X的概率密度为/() = +ET,则X的数学期望为_,V7TXX的方差为_十一、(本题满分6分)设随机变量X,Y相互独立，其概率密度函数分别为0 工 VI,其他，夕 0,夕W 0,求随机变量Z=2X+YZ=2X+Y的概率密度函数fz(z).fz(z).1987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 4 页