2015年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）

:8*(:8999*():8999*()2015年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 12 页:8*(2015年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 12 页2015年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 12 页:8999*():8999*()2015年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 12 页2015年数学（一）真题解析一一、 、选择题选择题（1） 【 【答案答案】（C）.【 【解解】 】 设fO= 0左边的零点为H=a,右边的零点为x =b , 又在x = 0处/（z）不存在.因为工=a的左、右两侧于（工）都大于零，所以（a ,/（）不是拐点；因为工=0左、右两侧fx ）异号，所以（0 ,/（0）为拐点； 因为工=b左、右两侧）异号，所以（6 ,/（6）为拐点， 故有两个拐点，应选（C）.方法点评:本题考查拐点的判别法.判断曲线的拐点时，首先找出二阶导数为零的点及二 阶不可导的点，其次判断该点两侧二阶导数的符号情况，若该点两侧二阶导数异号，则曲线上 对应的点为拐点.（2） 【 【答案答案】（A）.【 【解解】 】 因为;y = +孑+ （広 ）e为y + ay + by =ce的特解，所以y + ay + = 0的特征方程的特征值为入1 = 1 2 = 2,则a 3,b =2.显然y 为原方程的特解，将代入原方程得c = 1,应选（A）.（3） 【 【答案答案】（E）.【 【解解】 】 因为a”条件收敛，所以的收敛半径为1,n = 1 n = ooa”（工一l）n的收敛区间为一1V1,即0 工2.77=1因为Vy 1 G （ 1）9 3 1 幺l9所以级数工a（乂 一1）在工=3处绝对收敛，在x = 3处发散，n = l因为（工一1）与工5 （攵一 1）收敛半径相同、收敛区间相同97? = 1 = 1OO所以一1）在攵=3处绝对收敛，在乂 = 3处发散，应选（E）.n = （4） 【 【答案答案】（E）.亠. A = rcos ，（兀 ” c 兀 1 / 1 ,【 【解解】 】 令 一 W厂W / ,则y rsin 0 , I 4 3 丿2sin 20 J sin 20 丿JJ/（jr ,j/）clrd_y = d0 j*： /（rcos 0 ,rsin （9 ）rdr ,应选（B）.D 4 5/2 sin 20（5） 【 【答案答案】（D）.【 【解解】 】 因为AX=b有无数个解，所以r（A） =r（A） 3,由 | A | = （q l）（a 2） = 0 得 a =1山=2,2015年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 12 页1 1 : 11 0 ： d - 10 0 : d2 3d 十 2当a = 1时，Z111111 IA =121010八1 一I41川30J 因为方程组有无数个解，所以d-1或=2；当a = 2时9I111卩111 IA = 122小111 一444d233因为方程组有无数个解，所以 =1或 =2,应选（D）.1101d 1d2 一 3d + 2110方法点评：本题考查非齐次线性方程组的基本理论.本题非齐次线准方程组有无数个解 的两个关键点、为：厂（A） P(AB),所以 P(A) +P(B) - P(AB) P(AB), . D/AQ、x P(A ) + P (B )宀住 /八、 故 P(AB) 0 x 工-*0 x 工-*0 x Lsin x方法二1. ln(cos x) cos x 1 . sin xlim-:-= lim -=-lim-x0 X Xo 2x 2 x 0 X丄1cos X2015年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 12 页K2(io)【 【答案答案】T T【 【解解】 】sin x-y 1 + COS X一兀 | jr | djc = 2A 22 7tJC dj：= o 4方法点评：本题考查定积分的奇偶性质，即/(J7 )djf =a/(J7 ) + 工)dz，特别地,0当 /( ) = f( (JC) )时，/(jr )d:r =2 f x )djrJ o当 f (一x) = f O 时,/(J7 )dj： = 0.a(11) 答案答案】一山.一山.【 【解解】 】 方法一 将工=0,夕=1代入e= + + z十ez + xyz + j; + cos工=2两边分别对x ,y求偏导得 dz_ 3x訂+夕z +工cos X=2 中，得 z =0, z Z+ 1 一 sin jr = 0, ez - x3yN +夕3z 八3z=1 代入得器dx=I dj? + 字 | djy = - dz .I (0,1) djc I (0,1) dy | (0,1)方法二 将j： ： =0 = 1代入e” + xyz +工+ cos jc = 2中得n=0ez + xyz +无+ cos = 2两边求全微分得ez dz + yzdx + xzAy + xydz + dr sin x Ax = 0 , 0 代入得 dz |(0.1)= dx.故dz(0,1)(0,1)=0,(0,1)将 z = o q(12)【 【答案答案】 】 44【 【解解】方法一由对称性得J(_z+2y + 3z)dQ=6Q Q=6drJ 0=(1jr)3dj?J o 4方法二 0 = (无9夕9之)| (乂，夕)G D,0WnW1hj/9其中1) = (工9)|0冬力1，0丿1“9则lTy(jc + 2y + 3n ) dz01 9之(0,1)1x0l_zpzdz03clzJ 0(1 乂)41X(1 一 x 一 y2 Ay oi 1o =TIJJ (jc + 2jz + 3n ) dvQJj dyDDdrJ o(j? +2j/)(l x 一 y ) + -( 1 一 x 一 y )2 ckr dj/3x +2夕)(1 一 x 一 夕)+(1 z y)2=42015年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 12 页(13)答案答案】2+i2.202020-12【 【解解】D2D”一i + 2 X A lr,2200002X(- 1)T =2D”t +2=2D”-i= 2(2D-1I + 2 X( 1 )+i 八i i) = llj”_2 + 2)十 2=25,1+22+2.=2” - 2? + 2 = ：)= 2,+1 2.1 2(14)【 【答案答案】 】 j.【 【解解】 】 因为p =0,所以X,Y独立且不相关，且XN(1,1),YN(0,l), PXY-Y 0 - P(X - 1)Y 0= PX Q+PX1PYQ= *(PX 1)=y-方法点评：本题考查二维正态分布的性质.设( (x,y) )服从二维正态分布，则x,y独立与X,Y不相关等价.三、解答题2 3 3(15)【 【解解】 】 方法一 由 ln(l+H)=H*- + 2- + o(h3), sin x =x + o (jc 3)得Z 3 62 3 / 、/(jc ) =x ax 号b | bx2 + o(h3)=(1+q)jc + (b 守+ 3 +o(jc3) 9因为fCx )g (工)，所以 1 + a = 0,6 -|-=0,-|-=,解得 a = l,h=-yk =-.方法二 由1=1)Z01. x r a ln( 1 + jc ) + sin x2)=映kx3alim1 + -:-p b sin x bx cos xV + x 丿曰 “ 2 9 彳可 a = 193k j:2再由1 = limx-*01-丄3kx2+ 6sin x + bx cos x=limx-*0z:-p b sin x -Ybx cos x1 +3kx2limx-*0再由1 = limr f 0- -r + 2b cos x 一 bx sin x(1+J ，得 5丄 I&kx1 . 1_cos,+_,sln, 亍齐g 怛融&kx12015年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 8 页，共 12 页23+ sin x! （1 +工） 1 伯 Lhm- -= _ 百，得&乂0 bk 3k丄Qk（16） 【 【解解】y f（x）在点（工（），/（攵0）处的切线方程为y f（x0） 力0）,/（ J? o） 令；y = 0 ,贝 Iz =工 一 r-r ,J（工。）切线、工=工。及工轴所围成区域的面积为S=”Cz）卜 _ （几卷汕=4,即寺夕？ = 4夕，变量分离得= dr ,积分得 =x + C , 2 VO 因为夕（0）= 2,所以C= 4,故所求的曲线为y = -.4 一 x（17） 【 【解解】咒（工，夕）=1+夕，fy = 1 + j? fCx,y ）在点（工，夕）的方向导数取的最大值的方向即梯度的方向，且最大值即梯度的模,则最大值为 g（z ,夕）=| grad/（jr ,y） | +1）2 +（j； + 1）2.令F =（工+1）2 + （y + l）2十入（工彳+夕彳+広夕一3）,fFj =2（工 +1） + 2Xx + Xy = 0由F； =2（夕+ 1）+2小+入工=0,解得f/ = x2 + y2 + xy - 3=0口 =1,任=1,住=2, Ij: =一1, ly = 1, b = 1, I=1, b = 2.由 g（l,l）=松,g（l, l）=0,g（2, 1）=丽=3,g（ 1,2）=禹=3 得方向导数的 最大值为3.方法点评：本题考查方向导数与梯度的关系.方向导数为琴=罕cos a +字cos/? = *， dI djc dy dx dy cos a , cos B,其中=grad f, cos a , cos =e为与射线/方向相同的单位向量9设梯度grad于与e的夹角为&，则cos 9 ,当cos 0=1，即0=0或grad f与仑同向时9方向导数达到最大值.故梯度的方向即为方向导数取最大值的方向，且方向导数的最大值为梯度的模.（18）【 【证明证明】（I ）令于（无）=%（工）讥工），=况（工 + Ajr ）u （力 + Ajr ） 一 W（JC ）=况（E + 工）u （工 + Aj? ） U（ （X）77（J7 + Ajr ） + m（H）U（Z + Ajr ） 一 （Z）U（Z）=_u （jr + 工）?/（工）讥z + 乂 ） +（工）讥+ A j?） 一 讥无）wv （jr + 乂 ） + w （jc ） Av，2015年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 9 页，共 12 页则 _U(J7)77(J7= lim Y-=lim -v （x + Ajt ） + lim w （x ）-心-o Zkr0 Ajf=wz （ j: ） v （jc ） + （n ） ） = /1（工）况2（工）八况”（乂）+弘1（乞）/2（工）况（无）+况1（无）2（无）八/（工）ix = COS t，（19）【 【解解】L的参数方程为L X =V2sin /，其中起点t =守，终点 u 守，则R = COS t 9I = 2 (施sin t + cos t) (一 sin t )ck + 施sin t Vcos fdf + 2sin2cos2Z (一 sin t)dt=2麗 f2 sin2Zdz = 2麗 X X 善=-tc.J o 2 2 2I 2 0 1(20)【 【解解】(I )(“1/2#3)=(5卫2,5)020、2b 0 k +12 0 1 因为 0 2 0 =4 工0,所以厂( (“i ,02，0：Q =厂( (a i 9。2 9x 3) = 3 92k 0 k + 1即儿卩23线性无关，所以趴2屆为R3的一组基.(H)令g在两组基下的坐标都是(工口2山3)， 由 1 1 + x2a2 + JC 3 3 =无101 + ,02 +039 或 工 1( (01 a 1)+ 工 2(02 。2)+ 力 3(03 。3)=0，整理得 无(a I 2ba 3) I jt* 2 a 2 I 工 3 (a I kct 3) 0 9 因为为非零向量，所以j