1997年全国硕士研究生考试数学（三）真题（含解析）

1997年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 9 页1997年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页，共 9 页1997年全国硕士研究生考试数学三真题第 3 页，共 9 页1997年数学（三）真题解析一、填空题(1)【答案】 -f (In x ) + ff (x )/(ln x )e/(x) dx./(x)【解】 由 3/ =-厂(In 无)+ /(z l/Xln z ,得xre/-r) ndy = -/z (In x ) + )/(ln x )e) dr.（2）【答案】7T4 7T【解】 令 A = f fjc )djr ,则于(无)=- - + A J_ f ,Jo 1 + JC两边从0到1对工积分得抄+町;11 +工戸也=于+于A,解得A = .4 tt（3）【答案】 兀=C +（t 2）2（C为任意常数）.【解】yt+i yt = 0的通解为yt = C,令 yl+ yt = t2的特解为 y（）（t） = （at+ 6）2,代入原方程得 a = 1 ,b = 2, 故方程yt+i-yt = t2的通解为兀=C + （t 2）2（C为任意常数）.（4）【答案】麗 r 0, = 1 0, | A | 0,因为 | A | = 1-，所以一2 V t V .(5)【答案】z,9.【解】 由 X】H- X9 N(0,92)得*(Xi +-+X9) - N(0,l),由 Y,N(0,32)得N(0,l)(J = 1,2,-,9),于是+（并H-比）X2（9）,1997年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 9 页二、选择题（1）【答案】（B）.【解】方法一由 lim (无) sin x sin( 1 cos x )2 jc6 = lim 5 = lim (1 COS X )得右広T-*0 .X -r-*0 6无 HfOz(2sin肯)i=Hm 5 = %，lo 246jc 5因为g(w );0川，所以/（x）是gQ）的高阶无穷小，应选（B）.方法二 当t Ta 0 时，sin厂厂，则flCOS X /(jc ) = sin/2 d Z (1 cos 工) J 0 31 65 6 -I而g(z) = ? + ?-/，故f O 为g(z)的高阶无穷小，应选(B).5 6 5(2) 【答案】(C).【 【解解】 】 因为/()为偶函数，所以仆工)为奇函数，厂(工)为偶函数， 故在(O, + *)内有 fO o,/(H) o,应选(C)(3) 【答案】(C).【 【解解】 】 方法一 令A = (a 1 ,a2 ),则厂(A) = 3,/I 0 1(a 1 + 2ot 2， ，2a 2 + 3x 3, 3a 3 -|- x!) = A I 2 2 0o3 31 0 1 /I 0 1由2 2 0 = 12 H0得2 2 0可逆，0 3 3 0 3 3从而厂(a i + 2 a 2 9 2 a 2 + 3ct 3,3a 3 + u 】)厂(A ) - 3,故 a 1 + 2a2,2a2 + 3x3 ,3 + 22a 3,3a , + 5a 2 5a .1) )= A 11-35 ,s225/z123 由 r(A)=3得，厂（ （B）=r 1-35h22-5/1 2 3因为1 3 5 =0,所以r（B） 3,即5 +业+血， ，2a】一3血+ 22血， ，3 + 5心一 5业 线性相关，排除1 22 -5（D）,应选（C）.1997年全国硕士研究生考试数学三真题第 5 页，共 9 页(4)【 【答案答案】(D).【 【解解】 】 由A,B同阶可逆得r(A) = r(B)=，故存在可逆矩阵P ,Q ,使得PAQ = B,应选(D). 事实上，矩阵乘法没有交换律，两矩阵秩相等，两矩阵不一定相似及合同，故(A),(B),(C)不对.【答案】(A).【 【解解】PX=Y=PX = 1,Y=1 + PX = 1,Y=1= PX = 1PY=1 + PX = 1PY=1 = *,应选(A).事实上，PX+Y = 0 = PX = 1PY=1+PX = 1PY=1 = *,PXY = 1 = PX = Y = y,所以(B),(C),(D)都不对.三、【证明】limQ(x) = AlimWx + (1 讥一叮丁J-0 T-*0由得=Alim + (1-S)LXI才 +(15门工 一1+(】一讥一工Aev 8KX +(1 - 1lim-rf 0 X= lim SKxnK (1 ClnLx-*0=-nKs lnL- = -lnKaL1_a ,limQ(_r) = AkSl1S = AKL1-6 = Q.四、【 【解解】 】dud7dzd7f +fz 譽+ fexy y = 0两边对h求导9得尹(y +工等)警=0 9解得 dy = = 夕2dx re y 1 工歹ez xz = 0两边对jc求导9得ez血d7学=o,解得 arcdz _ z dr xz x故五、【 【解解】 】d“d7设政府征税总额为T,则T = tx,XZ 一 X(1)利润函数为L = R 一 C T = px 一 (3z + 1) tx = (4 一 t)戈0. 2x2 由学=(4 z) 0. 4j: = 0,得无=(4 t),dx 乙1,因为器-0.4 0,所以当销售量工5=(4 I)时，该商家利润最大.一 N 3C=f +fz2匕+门N5(2) T = tx = (4r t2),AT 5由r = (4 2t) = 0 得 t = 2,At 2因为= -5 。+所以FQ）在工=0处连续，从而FQ）在0,+oo）上连续；乂+1/（工）一广于（刀曲当工 0 时， F（z ） = - -,因为八乂）在0,十处）上单调不减且/（0） $0,所以当広$0时，/（） $0,从而tn f (t)dt x f (x )dz = j;n+1 /(j;),J 0 J 0于是当z 0时，FQ） Mo,即FQ）在0, + oo）上单调不减. 七、【 【解解】（1）如图所示，抛物线y =工？在点Q, 1,1）处的切线为 y 1 = 2（乂 一 1）,即 y = 2jc 1.令y 0得卩2（*，0）点Q的坐标为Q2 （y），抛物线y =工2在点Q处的切线为y 右=2.*（工*）,即 y=z_*,令y = 得P3 （右0），点Qs的坐标为Q：（*），由归纳法得P,1,2,-),则万可 =11卜 尸” UqJ i /1 /1 / iPPl七题图- - 1由Q,P” =(OP)2 =尹(” =1,2,-)得_ _ _ / 1 2n2 q1p1 + q2p2 + - + qpzi + - =14_ II14八、【 【解解】由 jj /(+ ) dzdy = dojo 厂/(*广)dr = 2兀(+厂)dr，得/(t) = e + 2厂/(存)dr,两边对t求导得/z(z) 8tf(t) = 87re4nz ,解得 ./(?)=(奴占 eEdt + 0)片=(4兀厂 +C)e2由 /(0) = 1 得 C = 1,故 f(t) = (47t(2 + l)e4n,.九、（1）【 【解解】PQ =（ （ 丘a 1 AaaT A* a + | A 16A a0 | A | (6-aTA_1a)1997年全国硕士研究生考试数学三真题第 7 页，共 9 页(2)【证明】|PQ|= |P| | = | A |2 (b-arA-a),由 |P|= |A|HO,得 |Q|= I A I (b-arA-a),故Q可逆的充分必要条件是丨Q丨H 0,即 rA 工b.十、【 【解解】(1)设矩阵A的属于特征值3的特征向量为a3 =(厂，工2，乂3)丁， a3 = 0, ( j?! x2 十広3 = 0,因为At = A,所以 即lala3 = 0, i 2_r 2 工3 = 0.该方程组的基础解系为(l,0,l)T,故属于特征值3的全部特征向量为03 =&(l,0,l)T(其中怡为任意非零 常数).1 /I0(2)令 P = - 1-2 0 ,由 P AP =P20得 1-1 Jo03，5213十一、【 【解解】 】 当当z1时，F(z) = 0；1 工+ 1当一1 w 乂 1 时，F(z) = PX = 1+PI 0,由XE(5)得几(工)=Io, 工 w o,(5严，j- 0,由 Y E(5)得 /y(3-)=(0 , y 0,1997年全国硕士研究生考试数学三真题第 8 页，共 9 页f工，y) = f x=由X,Y独立，得(X,Y)的联合密度为25”少，xO,y 0,0, 其他，T的分布函数为F(Z)= P T t = jj f (x ,y)dar dy ,当 t 0 时,F(z) = 0；当 t 0 时，F(r) = 25 P e_5j eSydy = 5 P (e5j -e )djr = 1 - e5/ - 5ze-s,J 0 J 0 J 0(0, t 0,/0, t 0,f+ i r+ i +8 iE(T) = t 25te5,dt = (5z)2e5,d(5z) = 4 t2 edt = T(3)=-Jo 5 J o 5 J o 5再由 ECT2) t2 25teck =召化一厲)=穆 严 -，山=丄 1X4)=Jo Z5J o 25J o 25 25得 D(T) = E(T2) - :E(T) 2 = -=.1997年全国硕士研究生考试数学三真题第 9 页，共 9 页