2010年全国硕士研究生考试数学（三）真题解析

2010年数学（三）真题解析一、选择题（1）【答案】（C）.【解】方法一由lim P-LO _x1-ax. 1 一 (1 一 ax )elim-X0 xlimT*0+ ae ) = 一 1 + a1,得a = 2，应选（C）方法二 由 = 1 + + o （j?）得(-a ) e =-1 a ax +0(2)9er = 一 1 + a + ax + o (h )，由limxe =1 得一l+a=l,故 a =2,应选(C).（2）【答案】（A）.【解】 若入 +刖2为一阶非齐次线性微分方程y+/（z）y=q（H）的解，则入+ =1, 又若入y 1 阳2为一阶齐次线性方程+卫（攵）夕=0的解，则入一“ =0,于是入=卩=,应选（A）.方法点评：本题考查非齐次线性微分方程解的结构.注意如下两个重要结构：若爭1 （工），爭2（H ）,，Q ）为非齐次线性微分方程$5 + a ”_1 （工）夕5 + . + a 1 （工）_y+ a。（広）夕=7（工）的一组解，则（1） 菇爭1（工）+孔爭2（工）+ + k s（ （ps （x ）为非齐次线性微分方程的解的充分必要条件 是 ki +怂 + + ks ll（2） k （工）+紅卩2（才）+怡、卩、（工）为非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分 方程的解的充分必要条件是匕+紅 +匕=0.（3） 【答案】（E）.【解】 因为g&）=a为）的极值，所以gQ。）=0.丄L/（g（Z）| =F（g（#o） /（工0）=0，T-ltf I =/（g（Ho） g2（zo）+F（g（#o） gQo）=/，（a）g，/（o），dr I工=工（）因为当 /（a） 0 时，）1 VO,所以当 /（a） 0 时，工。为 7（g（z）的 ajr x=x0极大值点，应选（E）.（4） 【答案】（C）.f（ （X） In10 x In.9x 1【解】 因为 lim 厶熙=lim -= 10 lim = 10! lim =0,工_+8 g x） Hf+x X X-*+oo X x-*+o X2010年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 8 页lim lim - = 10 lim 2=0,Hf+oo h h-*+8 ioe e所以当z充分大时，/(jc) 0), axCa 1)当工-* +00时都趋于无穷大，但In x x a1. 1 Uli . 0 9 m 0 .*f+oc a 工+4-oo q *(5) 【答案】(A).【解】 因为向量组I可由向量组II线性表示，所以向量组I的秩W向量组II的秩.若向量组I线性无关，则向量组I的秩为r，于是向量组II的秩Mr， ， 因为向量组II的秩Ms，所以r 5，应选(A).(6) 【答案】(D).【解】令AX=AX(XH(),由(A2+A)X = (A2+A)X=()且 XH 0，得入2 + 入=o,于是入=o 或 A =-1.-1 1 因为A可对角化且厂(A) = 3,所以A =-1为三重特征值，故A10, 应选(D).方法点评：本题考查定义法求特征值及相似矩阵注意如下几点：(1)设A为”阶矩阵，且入1心入”工0, A ”+i = =A ” =0 ,r (A)不一定等于非零特征值(0 1 1 0 0 1 ，显然入 1=1,入2 =入3 =0,但 r(A) = 2Hl.0 0 1 但当A为n阶可对角化矩阵且入1入2入工0, Ar+1 =入” =0,则r(A) =r.(2)与实对称矩阵相似的对角矩阵即由特征值构成的对角矩阵.(7)【答案】(C).【解】 PX-=1=FX1-PX1=F(1)-F(1-O)T 。厂厂。， ，所以选(C).方法点评：本题需要熟练掌握随机变量分布函数的性质.设X为随机变量，其分布函数FQ)具有如下四个特征：(1)0 F(h) 1;(2)FQ)单调不减；(3)FQ)右连续；(4)F( ) =0,F (+ ) = 1.反之，若F(工)具有(1)(4)的特，F)为分布函数.2010年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页，共 8 页另夕卜，若FQ)为分布函数，则(1) PX a =F(a 0)；(2) PX =a = PX a X V a =F(a) F(a 0)；(3) Pa X 6 =PX b - PX a =F(b) -F(.a);(4) Pa X b =PX b - PX a =F(b -Q) -F (a).(8)【答案】(A).【解】 几(z)= 丄e忌(一oqh +81 一 In x- 1 9 In x故 lim ( z 攵 一 11e(16)【解】 如图所示，由奇偶性得J (j?3 3x2y + + 3/3 )djr dj/ =D D+ 3xy2 )djr dy=2fd.J 05/1+3/2(73 + 3a:y2 )dx242 y于+討b丄1 fl(1 + y2)2 4j/4dj/ + 3 I j/2 (1 + )24dj/2 y0丄14=15夕2 +/ 10),1(1 h 2y2 一 3j/4 ) dj; + 3 | (y2 y4 )dy0(17)【解】 令 FQ， 入)=xy + 2yz + A (jc2 +F： =y + 2Xx = 0 9Ff = x + 2 + 2Aj/ = 0, 由丿： 得可能的最值点为F z = 2y + 2入 n = 0 9F； =jc2 + j/2 +2 - 10=0,由丿：2010年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 8 页A(1,a/,2), B (1 ,2), C(l,a/,2), D (1,2), E (2扼,0,麗),尸(一2施,0,施)，在点A ,D处=5岛；在点B ,C处=5岛，在点E,F处u 0, 故max =5站，min = 5岛.(18) 【解】(I )因为当 0 0 工-* + 工“ Jo (7?+1)故 | In / | ln(l +/)山 W - ,Jo (w + 1)由夹逼定理得 lim“” = lim | | In Z | ln( 1 + /) d/ = 0.8 “fOoJ 0方法点评：本题考查不等式的证明与夹逼定理求极限.不等式证明过程中注意使用如下 常用不等式：(1) 当卫 W(0,守)时，sin 広 0 时 9 ln( 1 + j;) C x (19) 【证明】(I )令FQ) =/(门山，FQ)=于(工)，J 0由牛顿一莱布尼茨公式得f (x)dj： ： =F(2) F (0), J 0再由微分中值定理，F(2) -F(0) =2FZ(V) =2/5)，其中 r/ 6 (0,2), 因为 2/(0) = f /(j? )dj? 9所以 /(0) =/(7?)J o(n )因为f (jc) e C2,3，所以/(工)在2,3上取到最小值m和最大值M , 因为m w竺尹 W M，所以由介值定理，存在c e 2,3，使得f(c) =/(2) +/(3)或/(2)+/(3) =2/(c),于是 /(0) =/(7)=/(c)，由罗尔定理，存在& G (0,7/) ,$2 6 (q,c)，使得 /(&)=/(&)=o,再由罗尔定理，存在w e(島疋2)u(0,3)，使得厂(w)=o.2010年全国硕士研究生考试数学三真题第 5 页，共 8 页方法点评：本题考查介值定理与罗尔定理.本题主要使用两个方法：(1) 设于(工)e Ca,b，已知条件中出现几个函数值相加时，一般使用介值定理；(2) 积分中值定理的推广，设 2)6 Ca,b，则存在W 6 (a)，使得fix )cLr =/() (6 a )(20)【解】(I)因为线性方程组AX = b存在两个不同解，所以r(A)3,即|A|=0,解得A = 1 或入=1.当一皿 -2 1 1-100a+Y 0-1001 -1a + 2120因为 r (A ) = r (A X3 ,所以 a = 2；当入=1时,A =1 10 01 11101001J001 10 00 011 /I01 -0a-1o11q显然 r(A ) (A ),所以入 H 1,故入=l,a= 2.(U)由才一R 203_7丄03_/1 兀 得方程组AX = bAX = b的通解为X=kX=k 0 + _丄(k(k为任意常数).(21)【解】 因为Q的列向量为A的特征向量，所以-(1,2,1) 丁为A A的特征向量,于是5= (1,2,1)丁为A的特征向量.-1001-1010010 0-1000、4-13aI 2 + 4 =入 1 , 1 + 6 + a = 2A 1解得 A J =2,a = 一 1.A 1 一4由 | AEA | = 1 A 3 1 =(入一2)(入 +4)(入一5)=0,得入】=2,入 2 = 4,入 3 = 5.-4 1 A当入2 = 4时，由(一4EA)X= 0即(4E+A)X= 0,得入2 = 4对应的线性无关的特征向量为 2= (1,0,1)丁；当入3 =5时，由(5E-A)x= 0得入3 =5对应的线性无关的特征向量为3= (1, 1，1)丁,2010年全国硕士研究生考试数学三真题第 6 页，共 8 页，贝IJ qtaq0令Q2-45方法点评:本题考查实对称矩阵对角化性质.设A为77阶实对称矩阵，则A A 一定可以相似对角化,A相似对角化有两种情形：情形一：求可逆矩阵P,使得P lAPP lAP，步骤为：(1) 求A的特征值入1，入2,，入”，(2) 求A的线性无关特征向量a ,a2 . - ,aa ,a2 . - ,a/入i(3)令 ,a2, ,),则 PAP =PAP =情形二：求正交矩阵Q,使得QrAQQrAQ，步骤为:(1) 求A的特征值入1，心，入”.(2) 求A的线性无关特征向量ar ,a ,ar ,a ,， ，- ,a.(3) 将a 1 ,a2， ，.a”进行施密特正交化及单位化得yxyx ,y2， ， ，y”.Mi令Q=(厂 化，y”)，则=，注意：经过正交规范化后?!， ，“r仍为特征值入1， ，入2,，入”对应的特征向量.(22)【解】1 =A=A*00 dxr+ _ 2 e djr+ _ 2 e dj?， ，+ _ 2 / e dj?= o*-|-oof G，夕)dy =A+ 2e_T djrf+e-(J_x)2d(3/ -jc)J -00 Jf+ _ 2e M dzz = A+ 2已_工djr = 2+00e:f+ 2Jock2#*-|-oo 1t 2 e z = r0于是1=4兀，故A =丄.7C当工 6 (oo,+*)时，丄7Tr+J ,y)dy1 -/一e7U+ 2 9e_2z +2py dy二-0-十夕_工)=eg 兀1 2x=e7T+ooe+ f 、2 e_F dy2 , 1 2 du = e 92 dx2而I2/x(JC )=2010年全国硕士研究生考试数学三真题第 7 页，共 8 页，夕) fx Q)于是fvx(夕丨工)1 2x +2xye i_ 71 1 - Qp)2(一 oo V y + oo).方法点评：本题考查二维连续型随机变量的联合密度与边缘密度及性质.本题中r函r+oa数是非常重要的工具，r函数的定义为：r(a) =Jo才一鼻卞山， 性质有：(1) r(a +1) =ar(a) ；(2) r(n +1) =“ ！ ；(3)卩(* )=石.(23)【解】(I ) (X,Y)的可能取值为(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2),且PX =0,Y = 0PX =0,Y = 2C 1 、 C；C； 2厂 px=0,y=1=r=Tci 1 , 、 C； C； 1卞花 w -=晋=令，PX=l,Y = 2=0,5PX1,Y = 1由 PY = 0=* + *=? PY = 1=4 +普帚 PY = 2諾,1 1 2得丫？ _8_ 丄 ；亏 15 159 13由 Pxy = l = , PXY = 2=0, PXY = 0=,15 lb得XY* I j 45 15 /i q 12 9于是 E(X)=, E(Y)=lX- + 2X-=-,