2003年全国硕士研究生考试数学（三）真题解析
2003年数学（三）真题解析一、填空题（1）【答案】（2,+*）.【解】 当力 HO 时 9 ff (x ) = A jca_1 cos + j?A_2sin ；JC JC当工=0时9由厂(0) = lim I)-/ =limjrA_1 cos丄存在，得入1且十(0) = 0,H-*0 x x-0 X(0, 工=O9于是八乂)= 1 -2 1 因为 lim/() =/70) =0,所以 A 2.Ajc cos-x sin ,力工 0, 工。I x JC(2) 【答案】4J.【解】 设切点为(无()90)，令= 3jc2 3a2 = 0,得工舟=aS由 0=云一322 6 ,得 b = (3a2 工約=2a $工09 故快二仏.(3) 【答案】 /.【解】令0()= (工9夕)|0 =工1，0夕一工1 9则 工)山 dy h/jjdz dy =/J dr J dy = a2 D D0(4) 【答案】一1.【解】 由 AB = (Eaa r)(E(Eaa r)(E + aaT) =E+ ( laa 1 aa aaTlaa 1 aa aaT q / a 丿 a=E+ ( 1aaT 2aaa r = E +1aaT 2aaa r = E +-1 2a )aa r =Er =E得-1 2a = 0,解得 a = 1 或 q= 9 因为 a 0 JC H-0 3C故工=0为g（_z）的可去间断点，应选（D）.方法点评：本题考查函数间断点及其类型.注意如下知识点：（1） 若/（）可导且为奇函数，则/（0） =0 JL /（X）为偶函数；（2） 若fd）可导且为偶函数，则fx）为奇函数且/70） =0.（2） 【答案】（A）.【解】 因为f,y）可微且在（工。，九）处取极小值， 所以 （乂0，o）=0,于；（Zo ,$0）=0 ,而-j-fCjc0 ,y） I =于；（力0 ,夕0）=0,应选（A）.d_y I y=y0（3） 【答案】（B）.oo oo【解】 若 ”绝对收敛，即S山”丨收敛，n = 1 n = l因为o w乜#也Wlsl， 0W W w山”丨，所以由正项级数的比较审敛法得s山”严上与s 严 都收敛,n=l / n= /oo oo oo OO即 工久与一工q”都收敛，于是 工仇与 都收敛，应选（E）.= 1 71 = 1 n = 1 n = 1OO oo oo I I | 8 I I _事实上，若工S条件收敛，则工山”丨发散，于是S S ? 及S 都n = 1 n = 1 n = 1 / n = 1发散.（4） 【答案】（C）.【解】由厂（A*） = l,得厂（A）=23,于是IA | =0. 由 A | = （a+26）（tz6）2=0,得 a+2b= 0 或a =b .而当a=b时，广（A ） = 1,故a + 26 = 0,应选（C）.2003年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页，共 7 页方法点评：本题考查矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系.X 9 r (A ) n , 设A为九阶矩阵9则r (A x ) =5 1, r (A ) =zz 1,o, r(A)sin(H2 + 3/2 ) dj? dj/*/n 2rer sin r02 dr = ire麻 2 e_r sin r2 d(r2 )0=7ree_/ sin tdt 90e令e_z sin tdt =人，由分部积分法得o11 =sin tAt0一 Jd ( cos ) = - el cos tcos tdt0=e_K + 1 一el cos tdt e_K + 1 一 oeTl d(sin t)0所以I】+1),it I 1 t _=e + 1 一 e sine_z sin t dt= e-Tr + 1 一 11 ?0D故+，f sin(工2 y2)dx dy = ( en + 1) = -(en + 1)六、【解】方法一8 2n/(z ) = 1 + 丫( 1)n = l 乙7100乙n = l(T 2 )= l_*ln(l+_z2)(l Vh 1)00 (_ )”_n2003年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 7 页由 y(z) = = 0 得 工=0,1十工当一 1 Vh 0；当 0 工 V 1 时,/7) 0；当 0 工 C 1 时，/) 0, 则z = 0为/(jc )的极大值点，极大值为/(0) = 1.七、【解】(1)由 f(z)=y,(j?) + f (工)go = /2(x)+ g2( (X) )=/(a-) + g (z )了 2/(jt )g (j：) = (2ex )2 2F(z ), 得FQ )满足的一阶微分方程为F(z) +2F(z) =4e.(2)由 F(h) +2F(工)=4疋工,得FQ)=(孑 e込clz +C)e2dj =Ce2x +孑,由 F(0) = /(0)g(0) = 0,得 C - 1,故 FQ) = e2x e_2x .八、【证明】 因为于(工)在0,2上连续，所以于(工)在0,2上取到最小值加和最大值M , 于是 3m f (0) +/(1) +/X2) 3M ,即 m 1M.由介值定理，存在c E 0,2，使得/(c) =1.因为/Xc)=于(3) =1,所以由罗尔定理，存在 e (c,3) U (0,3)，使得=0.方法点评：本题考查介值定理及罗尔定理.设)在a，刃上连续，注意如下技巧：(1) 若出现几个函数值之和时，一般对f(x)使用介值定理；(2) 若出现的命题且w e a,b, 般使用介值定理.九、【解】a 1 + b55a2 +bQ3Qi如S +b5a na n5a” + bn=( (As + b)b i=in(1) 当bHO且bHa,时，因为|A|H0,所以方程组只有零解；i = ln(2) 当5 =0或b=a( (时，方程组有非零解.1 = 1当b = 0时，方程组的同解方程组为QiG a2x2 + a”z” = 0,不妨设5工0,则方程 组的通解为2003年全国硕士研究生考试数学三真题第 5 页，共 7 页x =由A =时，+ + c”_ia-n50(Cj ,C2, ,C”_i为任意常数);a3a3a”a”-1-1-15 工 2,1 = 1a2a30155-另a,i = l2i = l1a001000010000aia” 工心1 = 1a2得r(A)=/i-l,因为A的每行元素之和为0,所以方程组AX= 0的基础解系为(1,1,-,1)T十、【解】令人=，则 f=XTAX .f=XTAX .la0b 仁i020， ，x =工2b0一2丿L /2 3由A j + 入 2 + 入 3 = tr A , 入1入2入3 = I A | A-1(2)由 lAE-A | =0-20A 2 00 入+2a =1, 得 a = 1 , = 2. 、一12 = 2(2a+b ),-2=0,得入 i= 3,入2=入3=2.得当儿=一3 时，由(一3EA) )x= 0 即(3E+A)X= 0,得 =(1,0, 2) 丁 当入 2=入3=2 时，由(2E-A)X=(2E-A)X= 0,得 2= (2,0,1厂，爲=(0,1,0)丁, 因为5两两正交，所以单位化得/ 12010-2Y30取 2 =(Yi ,r2，人)=_2_V50丄V50002= 0 002二次型在正交变换XQYXQY下的标准形为fXrAXfXrAXX=QY 9 , . 3% + 2刃 + 2夕 3 1002003年全国硕士研究生考试数学三真题第 6 页，共 7 页H、【解】当z VI时，F(h)=O；当攵8时，F(z)=l.当 1 8 时，FQ) = J：Y = F(X)的分布函数为 FY(y)=PYy -PF(X) j；, 当夕 V 0 时 9 Fy(j/) =0；当夕$1时，Fy()=1；当 0 3； 1 时，Fy(；y)=PF(X)Wy=P浓一 1W= PX(j/ + l)3= F(jy + I)3=夕，0, j/ 0,于是Y的分布函数为Fy(y)=, 0夕1,即YU (0,1).|1，皿 1，十二、【解】 巧(“)=PUu=PX+Yu= PX= 1PX+Y“ | X= 1 +PX= 2PX+YW | X= 2-0. 3PY W u 1 + 0. 7PY W u 2 = 0. 3F(zz 1) + 0. 7F(u 2), 于是 g(“) = 0. 3/(zz 1) + 0. If (m 2).2003年全国硕士研究生考试数学三真题第 7 页，共 7 页
