1987年全国硕士研究生考试数学（三）真题（含解析）

1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)(科目代码：303)一、判断题(本题共5小题，每小题2分，满分10分.正确的打“J”，错误的打“X”.)丄(1) limex = ( )(2) jr4sin =0. ( )(3)若级数a”与/b”均发散，贝级数 (a” + b )必发散.n = 1 n = 1 n = 1)(4)设D是矩阵A的r阶非零子式，且含D的一切r + 1阶子式均为0,则矩阵A的一切r + 1阶子式均为0.)(5)连续型随机变量取任何给定实数值的概率均为零.)二、选择题(本题共5小题，每小题2分，满分10分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)下列函数在其定义域内连续的是( ).z W 0，20() = In + sin xA + 1 9 V 0 9(C)/(J7 ) =5 0 9 JC = 0 9 Ij： ： 一 1 9 JC0(B)/(jc)=【COS X 9(sin jc ,2=0(2)若f (兀)在(a 9b)内可导且a C x! C jc 2 9则至少存在一点，使得( ).(A) /(6) /(a ) =/z(?) (b a ) (a g V 6)(B) /(6) /(jt: 1 ) = /Z () (b a*! ) (j?! V V b )(C) /(c2) f(x !) =/z( ) (2 Zi)Qi Vg 22)(D) /(jc 2)/(Q)=厂(W)Q 2 a ) (a V E V 厂)(3)下列广义积分收敛的是( ).jr (In xY+ 1(B) cLzJ e J： ： In Xf+ 1(D) dxJ e x %/ln x1987年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 8 页(4) 设阶方阵A的秩r(A)=r 求随机变量Y = v的数学Az 0,期望E(Y).十二、（本题满分8分）设两箱内装有同种零件：第一箱装50件，其中有10件一等品；第二箱装30件，其中有18 件一等品，现从两箱中任取一箱，再从此箱中先后不放回地取两个零件，求：（1） 先取出的零件是一等品的概率P；（2） 在先取出的零件是一等品的条件下，后取出的零件仍是一等品的条件概率q.1987年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 8 页1987年数学（三）真题解析一、 判断题（1） 【答案】X._1_ _1_ 丄【 【解解】 】 因为lime7 = 0, lime7 = 所以lime不存在但不是无穷大.r-0_ ho+ 乂（2） 【答案】J.【 【解解】 】 因为J：4 sin x为兀,兀上的奇函数，所以J sin zdz = 0.（3） 【答案】X.【 【解解】 】 取Q” = -,6“ = -y 9显然级数工Q”与2九都发散，但工（5 + ”）收敛.刃 77 ” = 1 ”=】 ” =1（4） 【答案】J.（5） 【答案】J.二、 选择题（1）【答案】（A）.（sin x , 乂 W 0,【 【解解】对于（工）=cos x , 无0,因为/(0 0) = 0H /(0 + 0) = 1,所以/(J：)在工=0处不连续； 卜 + 1 , H V 0 ,对 /(J7 ) =50, 工=0,工-1 9 H0 ,因为/(0-0) = 1 # /(0 + 0) = -1,所以/(工)在工=0处不连续;对心)=Ll広| 広工，o, 工=0,因为lira/* （无）=ooH f （0） = 0,所以/（jt）在h = 0处不连续，应选（A）.X0（2） 【答案】（C）.【 【解解】 】 因为g在4，工2上连续，在（工，工2）内可导，所以由拉格朗日中值定理，应选（C）（3） 【答案】（C）.+ In r 1 I +【 【解解】 】 因为 J = ln2jr = +,+oo I +：-dr = ln（ln jt） = +,J e jrln JT I er+o i _I +- djr = 2 yin x = +,所以应选（C）J e X Vln X I e事实上,JT (In H )21In jcdjr =（4）【答案】（A）.【解解】 】 因为r（A） = r工_ w| 2 (工 _ J )22 1 2 9+ ydz1(工 一 y) +(JT+ y)X3yi+D 工 一 y /1 2 (x y)22 1 2 工十歹(4)【解】 令_ = t,即工=*(1 + /2),则卜“2乂-1 也= dt = (t l)e + C =(】2工1 1 )e/2j_1 + C.四、【解】S.(sin t sin=Zsin t + cos t 1,S2J 2 ( sin x sin ) drS = S1+S2 =(2/-) sin l + 2cos t 1,令 S，=(2/ ) cos / = 0 得 t = 或 r = -9 由 SCO) = 1,S(于)=2 JS(守)=-I?得当t = 4时，两部分面积之和最小；当r = 0时，两部分面积之和最大. 4五、【解】f =工2 _3乂 +2 =（工 一 2）（広一1） = 1-x 2 z 1 吕而；-=/J IVjcVI,1 H 则/(-r) = S (1 占)工，收敛区间为(一1，1).” =0 厶六、【解】JJeT djr dy = J eJ dr 3 dy =J (无一z3)e drD=|J (1 j: 2 )ex d(x2 ) = (1 jc )eJ djr1987年全国硕士研究生考试数学三真题第 6 页，共 8 页七、【 【解解】需求对价格的弹性为dx / dp79 =-,X / P 由题意得号労 =-3p整理得話+ 3P咯=0, 解得 x = = Cepi ,因为市场对商品的最大需求量为1,所以C = 1,故需求函数为z .八八、 、【 【解解】 】2-14-3-4V0103101-1-3()1-20-8由A =31101()0016得707-33 .0000 .原方程组的通解为X4为任意常数).-13、2+-810、0 ,6 九、【 【解解】 】 由 AB = A+2B 得(A 2E)B = A，解得 B =(A -2E)_1A,I 2 2 3A-2E = 1 - 1 0-1 2 1矩阵A的实特征值为心=1,/14 -3 /42 3/ 3 -8 _6故B = 1165 T(1_ 1102 3/=1 2 9 61.-2 12 9 /-3 _ 12十、【解】令A =0 1*9-1 0A +31_ 2由E A | =0 A+ 1-4=(A - 1)(A2 +4入 +5) = 0 得10A 一 11的所有特征向量为以0,2,1厂，其中k为任意非零常数)./41 _2I10 0 由 E-A= 02-4 - 01 2得心=1对应的线性无关的特征向量为5 =(0,2,l)T(或入10o /o0 0 1987年全国硕士研究生考试数学三真题第 7 页，共 8 页十一、（1）【解】当工V 1当1 w工F(z) = PX Wz,时，F(z ) = 0 ； 2 时，FQ) = PX = 1 = 0. 22a 2当 3 时,F(z) = P X =1 +PX=2=0. 5 ；当 x 3 时，F（工）=1,0,Z V 1 90. 2,1G V 2,故F(z)= 0. 5,2 W 工 V 3,、1，h $ 3(2)【解】E(Y) = E(y) =21工七 r-ex adz =21 f+ 2e 2 d 工 a J oadz2#+t 洛dr = r o 屁J2a十二、【解】 令A. = 取的为第一箱,A2=取的为第二箱， PCAJ = P(A2) = y第一次取出的零件是一等品，B2 = 第二次取出的零件是一等品,in is力=P(BJ = P(AJP(Bi | AJ + P(A2)P(B1 I A2) = y(T + f)7(2)g = P(B2 I =P(B1B2)P(BQ由PCBjBz) = P(A1)P(B1B2 I AJ +P(A2)P(B1B2 | A2)丄(12x + 18x 17_276_2 50 49 30 29 / 29 X 49得q = P(B2BJ =P(B1B2)P(BJ6901 4211987年全国硕士研究生考试数学三真题第 8 页，共 8 页