2021年秋季人教版八（上）《整式的乘除》考点清单（教师版）

整式的乘法与因式分解考点 1：整式的乘法【知识网络】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am an = am+n （m，n 都是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即(am )n = amn （m，n 都是正整数）积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即(ab)n = an bn（n 是正整数）单项式与单项式相乘的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为 m(a + b + c) = ma + mb + mc(m，a，b，c 都是单项式)多项式与多项式相乘的乘法法则: 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am an = am-n （a0,m，n 都是正整数， 并且 m>n）零指数幂的性质：规定： a0 = 1（a0） 重点：整式乘法的正确运算【经典例题】例 1如果 xm = 2 ， xn = 1 ，那么 xm+n 的值为()4A2B8C 1 2D 2 14例 2计算：(1)2x3 x3 + (3x3 )2 - 8x6 ；(2)a3 a5 + (3a4 )2 a2 ；(3)xy(x2 - xy) - x2 y(x - y) 3xy2 ；(4)(-3y)(4x2 y - 2xy) .例 3计算：(1)3x x5 + (-2x3 )2 - x12 x6(2)(-2xy)(3x2 - 2xy - 4y2 )(3)(-2x)3 (2x3 - 1 x -1) - 2x(2x3 + 4x2 )2例 4计算：（1） (-a2 )(-a)2 (-a) ；（2） (-3x2 )(4x - 3)（3） -2x2 y + 1) ；（4） (-2x2 )3 + x212x y(1 x3 y2 - 334x46考点 2：乘法公式【知识网络】平方差公式： (a + b)(a - b) = a2 - b2完全平方公式： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2重点：公式的正确运用、完全平方的存在性【经典例题】例 1计算：（1） (a - 2b)(2b + a)（2） (3x - 2y)(-3x - 2y)例 2计算(1)(x + y)(x2 - xy + y2 )(2)(2x - 2)(x +1) - (x -1)2 - (x +1)2(3)(2x + y)2 - (x + 2y)(x - 2y)(4) (x - 2)(x + 2) - 4(2x -1)（5） (x - 2y - z)(x + 2y - z) - (x + z)2 ；（6） (2x +1)(2x -1) - (x + 2)2例 3若 4x2 - (k -1)x + 9 能用完全平方公式因式分解，则k 的值为考点 3：因式分解【知识网络】因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。常用因式分解的方法：1. 提公因式法2. 公式法平方差公式： a2 - b2 = (a + b)(a - b)完全平方公式： a2 2ab + b2 = (a b)23. 十字相乘法4. 分组分解法重点：因式分解要彻底【经典例题】例 1下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()A 2xy + 6xz + 3 = 2x( y + 3z) + 3B (x + 6)(x - 6) = x2 - 36C -2x2 - 2xy = -2x(x + y)D 3a2 - 3b2 - a = 3(a2 - b2 ) - a例 2整式 x2 + kx +16 为某完全平方式展开后的结果，则k 的值为例 3利用因式分解计算:（1）已知 xy = -1 ， x + y = 2 ，则 1 x3 y + x2 y2 + 1 xy3 =22（2）若 a3 + 3a2+ a = 0 ，求2a3a6 + 6a3 + 1=例 4已知 a ， b ， c 是DABC 的三边， b2 + 2ab = c2 + 2ac ，则DABC 的形状是1 对 1 初中数学组【例题答案】整式的乘法与因式分解考点 1： 例 1 C 【解答】解：如果 xm = 2 ， xn = 1 ，4那么 xm+n = xm xn = 2 1 = 1 42故选： C 例 2 = 3x6 ；【解答】解： 2x3 x3 + (3x3 )2 - 8x6= 2x6 + 9x6 - 8x6= 3x6 = 10a6 ；【解答】解：原式= (a8 + 9a8 ) a2= 10a8 a2= 10a6 = 0 ；【解答】解：xy(x2 - xy) - x2 y(x - y) 3xy23xy2= (x3 y - x2 y2 - x3 y + x2 y2 )= 0 = -12x2 y2 + 6xy2 ；【解答】解： (-3y)(4x2 y - 2xy)= (-3y)(4x2 y) + (-3y)(-2xy)= -12x2 y2 + 6xy2 4例 3(1)(2)= 6x6= -6x3 y + 4x2 y2 + 8xy3(3) = -8x3 (2x3 - 1 x -1) - (4x4 + 8x3) = -16x6 + 4x4 + 8x3 - 4x4 - 8x3 = -16x621 对 1 初中数学组a2 a = a5例 4（1） = a2（2） (-3x2 )(4x - 3) = -12x3 + 9x21 x3 y2 +12x2 y 3 x2 y -12x2 y 1346（3） = -12x2 y= -4x5 y3 + 9x4 y2 - 2x2 y ；（4） = -6x3 y + 4x2 y2 + 8xy3考点 2：例 1.（ 1）（ a- 2b）（ 2b+a） =（ a- 2b）（ a+2b） =a2 - 4b2（ 2）（ 3x- 2y）（ - 3x- 2y） =（ - 2y+3x）（ - 2y- 3x） =4y2 -9x27例 2. (1)(x + y)(x2 - xy + y2 ) = x3 + y3(2) = 2x2 + 2x - -2x - 2 - (x2 - 2x +1) - (x2 + 2x +1)= 2x2+ 2x - 2x - 2 -2x+2x-1 2-x-2x= -4(3) = 4x2 + 4xy + y2 - (x2 - 4y2 )= 4x2+ 4x y + 2y- 2x +4= 3x2 + 4xy + 5y2(4) = x2 - 4 - 8x + 4 = x2 - 8x (5) = (x - z)2 - (2y)2 - (x + z)2= (x - z)2 - (x + z)2 - (2 y)2= (x - z + x + z)(x - z - x - z) - (2y)2= -4xz - 4y2 (6) = 4x2 -1- (x2 + 4x + 4)= 4x2 -1- x2 - 4x - 4= 3x2 - 4x - 5 例 3. 13 或-11【解答】解：4x2 - (k -1)x + 9 是一个完全平方式，k -1 = 12 ，解得： k = 13 或 k = -11， 故选：13 或-11考点 3： 例 1. C【解答】解： A 、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、等式从左边到右边属于整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、等式从左边到右边把一个多项式化成整式积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；D 、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选： C 例 2 8 【解答】解：x2 + kx +16 是完全平方式，k = 2 4 = 8 ， 故答案为： 8 例 3(1) -2 【解答】解：xy = -1， x + y = 2 ， 1 x3 y + x2 y2 + 1 xy322= 1 xy(x2 + 2xy + y2 ) 2= 1 xy(x + y)22= 1 (-1) 222= -2 故答案为： -2 (2) - 1 或 06【解答】解：a3 + 3a2 + a = 0 ，a(a2 + 3a +1) = 0a = 0 或 a2 + 3a +1 = 02 a3当 a = 0 时 a6 + 6 a3 + 1 的值为 0当 a2 + 3a +1 = 0 时，每项都除以 a 得 a + 1 = -3 ，将上式的分子分母同时除以a3 ，分子为常数 2，分母为aa3 + 6 + 1 ，a3又 a3 + 1 = (a + 1 )(a2 -1 + 1 ) = (a + 1)(a + 1)2 - 3 = -39 - 3 = -18 ，a3aa2aa2 a3= 2 = - 1 a6 + 6 a3 + 1-1262 a31故 a6 + 6 a3 + 1 的值为- 6 或 0例 4等腰三角形【解答】解： b2 + 2ab = c2 + 2ac 可变为b2 - c2 = 2ac - 2ab ，(b + c)(b - c) = 2a(c - b) ，因为 a ， b ， c 为DABC 的三条边长，所以b ， c 的关系要么是b > c ，要么b < c ， 当 b > c 时， b - c > 0 ， c - b < 0 ，不合题意； 当 b < c 时， b - c < 0 ， c - b > 0 ，不合题意 那么只有一种可能b = c 所以此三角形是等腰