人教A版数学选修1-1教师用书

1课堂讲义数学选修 11 第一章常用逻辑用语11命题及其关系11.1命题学习目标1了解命题的概念2会判断命题的真假，能够把命题化为“若 p，则 q”的形式知识链接在初中，我们已学过许多数学命题，当时是如何定义命题的，你能举出一些例子吗？答：判断一件事情的句子叫命题如：有两边相等的三角形是等腰三角形预习导引1命题的定义(1)用语言、符号或式子 表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题(2)判断为真的语句叫做 真命题(3)判断为假的语句叫做假命题2命题的结构从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成在数学中，命题常写成“若 p，则 q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的 p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论要点一命题的判断例 1下列语句是命题的是()2Ax10 B23 8C你会说英语吗？ D这是一棵大树答案B解析A 中 x 不确定，x10 的真假无法判断；B 中 238 是命题，且是假命 题；C 不是陈述句，故不是命 题；D 中“大”的标准不确定，无法判断真假规律方法并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句” ，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假” ，不能判断真假的陈述句不是命题，如 “x2 ”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题因此，判断一个语 句是否为命题，关键有两点：是否为陈述句；能否判断真假跟踪演练 1判断下列语句是否是命题(1)求证 是无理数3(2)x22x10.(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果(5)一个正整数不是质数就是合数(6)若 xR，则 x24x70.(7)x3>0.解(1)(3)(7) 不是命题，(2)(4)(5)(6) 是命题要点二命题真假的判断例 2判断下列命题的真假：(1)已知 a，b ，c ，dR，若 ac，bd，则 abcd；(2)若 xN，则 x3>x2 成立；(3)若 m>1，则方程 x22xm0 无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆解(1)假命题 反例：14,52，而 1542.(2)假命题反例：当 x0 时，x 3>x2 不成立(3)真命题m>1 44mbc2，则 a>b.其中真命题的序号是_答案解析是真命题， 四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形， 平行四边形不是梯形要点三命题的结构例 3把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断真假(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)当 ac>bc 时，a>b；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等解(1)若一个数是 实数，则它的平方是非负数真命题(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形假命题(3)若 ac>bc，则 a>b.假命题(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等真命题规律方法把一个命题改写成“若 p，则 q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和 结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不唯一跟踪演练 3将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断真假(1)垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)负数的立方是负数；(3)对顶角相等解(1)若两条直 线垂直于同一条直线，则这两条直线平行它是假命题(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数它是真命题(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等它是真命题41下列语句不是命题的有()2b，则 ac2>bc2；矩形的对角线互相垂直其中假命题的个数是_答案4解析等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；当 x，y 中一个为零，另一个不为零时，|x |y |0；当c0 时不成立； 菱形的 对角线互相垂直矩形的对角线不一定垂直1根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命 题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可2任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成 “若 p，则 q”的形式含有大前提的命题写成“若 p，则 q”的形式，大前提应保持不变，且不写在条件 p 中第一章常用逻辑用语11命题及其关系11.1命题5一、基础达标1下列语句是命题的是()A2012 是一个大数B若两直线平行，则这两条直线没有公共点C对数函数是增函数吗？Da15答案B解析A、 D 不能判断真假，不是命题；B 能够判断真假而且是陈述句，是命 题；C 是疑问句，不是命题2下列命题是真命题的是()A 是空集BxN|x1|b，则 ac>bc(3)若 MN M，则 NM(4)若 MN ，则 MNM答案(4)解析(1)中，a0，b0 时， a2b 20 不成立；(2)中，c 0 时不成立；(3)中，MNM 说明 MN.故(1)、(2)、(3)皆错误7把命题“a>0 时，函数 yaxb 的值随 x 值的增加而增加”改写成“若 p，则 q”的形式，并判断真假解a>0 时，若 x 增加， 则函数 yaxb 的值也随之增加，它是真命题二、能力提升8给定下列命题：“若 k>0，则方程 x22xk0”有实数根；若 a>b>0， c>d>0，则 ac>bd；对角线相等的四边形是矩形；若 xy0，则 x、y 中至少有一个为 0.其中真命题的序号是()A B7C D答案B解析中 44(k)44k>0，故为真命题；由不等式的性质知， 显然是真命题；如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；为真命题 9命题“偶函数的图象关于 y 轴对称”写成“若 p，则 q”形式为_答案若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于 y 轴对称10给出下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，是真命题的是_(填序号)答案解析命题是假命题， “两条直线”应改为“两条相交直线” ；命题是面面垂直的判定定理，是真命题；命题 是假命题，垂直于同一直线的两条直线可能平行、异面或相交；命题 是面面垂直的性质定理的另一种说法，是真命题11判断下列命题的真假(1)二次函数 yax 2bxc(a0) 有最大值；(2)正项等差数列的公差大于零；(3)函数 y 的图象关于原点对称1x解(1)假命题 当 a>0 时，抛物线开口向上，有最小值(2)假命题反例：若此数列为递减数列，如数列 20,17,14,11,8,5,2，它的公差是3.(3)真命题y 是奇函数，所以其 图象关于原点对 称1x12把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假(1)当 xy5 时，x2 且 y3；(2)当 m> 时， mx2x10 无实根；14(3)当 ab0 时， a0 或 b0.解(1)若 xy5 则 x2 且 y3.8x1，y4 时，xy5.是假命题(2)若 m> ，则 mx2x10 无实根1414m a，B：x>1，请选择适当的实数 a，使得由 A，B 构造的命题“若 p，则 q”为真命题解若 A，则 B，即“若 x> ，则 x>1”，由命题为真命题可知 1，解得 a4；1 a5 1 a5若 B，则 A，即“若 x>1，则 x> ”，由命题为真命题可知 1，解得 a4.1 a5 1 a511.2四种命题11.3四种命题间的相互关系学习目标1了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题2认识四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系3会利用逆否命题的等价性解决问题知识链接下列四个命题：(1)若 f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数；(2)若 f(x)是周期函数，则 f(x)是正弦函数；(3)若 f(x)不是正弦函数，则 f(x)不是周期函数；(4)若 f(x)不是周期函数，则 f(x)不是正弦函数观察命题(1)与命题 (2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？答：命题(1)的条件是命题(2) 的结论，且命题(1)的结论是命题(2) 的条件对于命题(1)和 (3)其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和 (4)其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定9预习导引1四种命题的概念(1)互逆命题： 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题2四种命题的真假性的判断原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真原命题为真，它的逆否命题一定为真要点一四种命题的概念例 1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)实数的平方是非负数；(2)若 x、y 都是奇数，则 xy 是偶数解(1)原命题 是真命题逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数真命题否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数真命题逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数真命题(2)原命题是真命 题逆命题：若 x y 是偶数，则 x、y 都是奇数，是假命题否命题：若 x、y 不都是奇数，则 xy 不是偶数，是假命题逆否命题：若 xy 不是偶数，则 x、y 不都是奇数，是真命题10规律方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题(2)在写命题时 ，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论跟踪演练 1写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；(2)如果 x>10，那么 x>0；(3)当 x2 时，x 2x60.解(1)逆命题 ：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的两条相交直线(2)逆命题：如果 x>0，那么 x>10.否命题：如果 x10，那么 x0.逆否命题：如果 x0，那么 x10.(3)逆命题：如果 x2x60，那么 x2.否命题：如果 x2，那么 x2x60.逆否命题：如果 x2x 6 0，那么 x2.要点二四种命题的关系例 2 下列命题：“若 xy1，则 x、y 互为倒数”的逆命题；