浙江省义乌三中高三物理《8.3带电粒子在匀强磁场中的运动》复习课件

第 3 课时 专题：带电粒子在匀强磁场中的运动 题型互动探究 题型一 带电粒子在磁场中运动的极值问题 解决此类问题的关键是：找准临界点 找临界点的方法是： 以题目中的 “ 恰好 ”“ 最大 ”“ 最高 ”“ 至少 ” 等词语为突破口，借助半径 R 和速度 v ( 或磁场 B ) 之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下： ( 1) 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切 ( 2) 当速度 v 一定时，弧长 ( 或弦长 ) 越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 ( 3) 当速率 v 变化时，圆周角大的，运动时间越长 1 磁感应强度的极值问题 例 1 如图 1 所示，一带正电的质子以速度 O 点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向 里的匀强磁场已知两板之间距离为 d ， 板长为 d ， O 点是板的正中间，为使质子能 从两板间射出，试求磁感应强度应满足的条件 ( 已知质子的带电荷量为 e ，质量为 m ) 图 1 解析 第一种临界情况是质子从 N 点射出， 此时质子轨迹是半个圆， 如图所示，半径为 所以 R 1 m v 0B 1 4 m v 0 点射出，轨迹如图所示，由平面几何知识得 R 22 ( R2又 R2m m 应满足的条件是 4 m B 4 m 答案 4 m v 05 B 4 m v 02 偏角的极值问题 例 2 在真空中，半径 r 3 × 10 2m 的圆形区域 内有匀强磁场，方向如图 2 所示，磁感应强 度 B ，一个带正电的粒子以初速度 106m /s 从磁场边界上直径 一端 a 射 入磁场，已知该粒子的比荷108C /k g ， 不计粒子重力 ( 1) 求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； ( 2) 若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时 夹角 及粒子的最大偏转角 图 2 解析 ( 1) 粒子射入磁场后，由于不计重力，所以洛伦兹力提供圆周运动需要的向心力，根据牛顿第二定律有 q m 5 × 10 2m . ( 2) 粒子在圆形磁场区域运动轨迹为一段半径 R 5 c m 的圆弧，要使偏转角最大，就要求这段圆弧 对应的弦最长，即为图形区域的直径，粒子运动 轨迹的圆心 O 在 的中垂线上，如图所示 由几何关系可知 s 37° 最大偏转角 2 74° . 答案 ( 1 ) 5 × 10 2 m ( 2 ) 3 7 ° 7 4 ° 3 时间的极值问题 例 3 如图 3 所示，半径为 r 0.1 m 的圆形匀强磁场 区域边界跟 y 轴相切于坐标原点 O ，磁感应强度 B ，方向垂直纸面向里在 O 处有一 放射源，可沿纸面向各个方向射出速率均为 v 106m /s 的 粒子已知 粒子质量 m 10 27k g ，电量 q 10 19C ，不计 粒子的重力 求 粒子在磁场中运动的最长时间 图 3 解析 由 q v B R m 0.2 m > r 0.1 m 因此要使 粒子在磁场中运动的时间最长，则需 要 粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弦长最长， 从图中可以看出，沿以直径 弦、 R 为半径的 圆弧所做的圆周运动， 粒子在磁场中运动的时 间最长 由 T 2 动时间 2T ，又 s 得 10 8s . 答案 6 10 8 s 4 磁场区域面积的极值问题 例 4 不计重力的带正电粒子，质量为 m ，电荷量 为 q ，以与 y 轴成 30° 角的速度 y 轴上的 a 点 射入图 4 中第一象限所在区域为了使该带电 粒子能从 x 轴上的 b 点以与 x 轴成 60° 角的速度 射出，可在适当的地方加一个垂直于 xO y 平 面、磁感强度为 B 的匀强磁场，若此磁场分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小面积 图 4 解析 粒子在磁场中做半径为 R m 据题意，粒子在磁场区域中的轨道为半径等于 R 的圆上 的13圆周，这段圆弧应与入射方向的速度，出射 方向的速度相切，如图所示则到入射方向所 在直线和出射方向所在直线相距为 R 的 O 点 就是圆周的圆心粒子在磁场区域中的轨道就 是以 O 为圆心、 R 为半径的圆上的圆弧 而 e 点和 f 点应在所求圆形磁场区域的边界上在通过 e 、 f 两点的不同的圆周中，最小的一个是以 线为直径的圆周 即得圆形磁场区域的最小半径 r R s 60° 3 m m i n 4(m . 答案 34 ( m v 0 2 题型二 带电粒子在磁场运动的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面 ( 1) 带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解 ( 2) 磁场方向不确定形成多解：有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向，由磁场方向不确定而形成的双解 ( 3) 临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦 兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨 迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场，可能转 过 180° 从入射界面这边反向飞出，如图 5 所示， 于是形成多解 ( 4) 运动的重复性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解 图 5 1 带电粒子性质的不确定形成多解 例 5 如图 6 所示，直线边界 方有垂直 纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B ， 磁场区域足够大今有一质量为 m ，带 电量为 q 的带电粒子，从边界 某点 垂直磁场方向射入，射入时的速度大小为 v ，方向与边界夹角为 ，求带电粒子在磁场中的运动时间 图 6 解析 设带电粒子在磁场中做圆周运 动的周期为 T ，则有 T 2 粒子 带正电，其运动轨迹如图中的 1 所示， 则运动时间为 2 2T 2 m ( ) 若粒子带负电，其运动轨迹如图中的 2 所示， 则运动时间为 2T 2 答案 若粒子带正电，则运动时间为2 m ( )若粒子带负电，则运动时间为2 2 磁场方向不确定形成多解 例 6 某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆 时针 方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的 3 倍若电子电荷量为 e 、质量为 m ，磁感应强度为 B ，不计重力，则电子运动的角速度可能是 ( ) 设电子所受电场力为 F ，洛伦兹力为 F ，若磁场方向垂直于纸面向外，则所受洛伦兹力指向圆心 ( 如图甲所示 ) 由题意可知 F F F e v B e ( R ) B ， F 3 F ，联立以上三式得 4 若磁场方向垂直于纸面向里，则所受洛伦兹力背向圆心 ( 如图乙所示 ) ，则有 F F F e v B e ( R ) B ， F 3 F ，联立三式解得： 2 本题答案为 A 、 C. 答案 运动方向不确定形成多解 例 7 如图 7 所示，绝缘摆线长为 L ，摆球带正 电 ( 电 荷量为 q ，质量为 m ) 悬于 O 点，当它在磁 感应强 度为 B 的匀强磁场中来回摆动经过最低 点 C 时速 率 为 v ，则摆线的拉力为多大？ 图 7 解析 当摆球在最低点向右运动时，摆球受到的洛伦兹力的方向竖直向上 , 由牛顿第二定律得 q v B q v B 当摆球在最低点向左运动时，摆球受洛伦兹力的方向竖直向下，由牛顿第二定律得 q v B q v B 答案 见解析 答题技巧 多解问题的审题 正确解答多解问题的前 提和关键是审题，只有细致、周密、准确的审题，才能体会出题目中条件的不确定因素，从而把题目定性为多解问题而进行讨论分析审题时应克服习惯性思维或先入为主的思维模式，想当然地认为带电粒子就是带正电，粒子运动就是向一个方向运动，这样多解题就变成了单解题，答案不全面或解答错误本题型的三个例题，就是从形成多解的三个不确定条件出发，讨论了形成多解的不同结果 随堂巩固训练 1 在 xO y 平面内有许多电子 ( 质量为 m ，电 荷量为 e ) , 从坐标原点 O 不断以相同大小 的速度 如图 8 所示现加上一个垂直于 xO y 平面 向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场，要 求这些电子穿过该磁场后都能平行于 x 轴向 x 轴正方向运动，试求出符合条件的磁场的最小面积 图 8 解析 所有电子在所求的匀强磁场中均做匀速圆周运动，由e 半径为 R m 设与 x 轴正向成 角入射的电子从坐标为 ( x ， y ) 的 P 点射出磁场 则有 ( R y )2 式即为电子离开磁场的下边界 b 的表达式 当 90° 时，电子的运动轨迹为磁场的上边 界 a ，其表达式为 ( R x )2 由 式所确定的面积就是磁场的最小范围， 如图所示， 其面积为 S 2( 22) 22(m . 答案 22 ( m v 0 2 2 如图 9 所示，一足够长的矩形区域 ab c d 内 充满磁感应强度为 B 、方向垂直纸面向里 的匀强磁场，现从矩形区域 的中点 O 处，垂直磁场射入一速度方向与 夹 角为 30° 、大小为 知粒子质量为 m ，电荷量为 q ， 长为 l，重力影响不计 ( 1) 试求粒子能从 上射出磁场的 ( 2) 问粒子在磁场中运动的最长时间是多少？ 图 9 解析