电路 第十四章 网络函数

第十四章 网络函数141 基本概念1411 网络函数的定义及性质1. 定义：在线性非时变的电路中，电路在单一的独立激励下，其零状态响应的象函数 与激励 的象函数 之比定义为该电路的网络函数 ，即trsRtesEsH。EsHdef2. 网络函数的形式（1）驱动点函数：与网络在一对端子处的电压和电流有关，又分为驱动点阻抗函数和驱动点导纳函数 ，定义为：sZsYsYIUsZ1“驱动点”指的是若激励在某一端口，则响应也从此端口观察。（2）转移函数：又称传递函数。转移函数的输入和输出在电路的不同端口，它的可能的形式有以下几种：电压转移函数 sUH12电流转移函数 sII12转移阻抗函数 sIHZ12转移导纳函数 sUY123. 网络函数的性质（1）网络函数是一实系数的有理分式，可写成两个 多项式的比值： 011bssbaasDNHnnmm 函数 ， 是系数分别为 和 的 多项时，系数 和 是实数。sNk k（2）当输入信号 为单位冲激 时， ，则输出tet1tLsEHsR该式说明,电路的单位冲激响应网络函数的原函数，即 sLth11412 网络函数的零极点与冲激响应 的关系1. 网络函数的零极点：若对上式中的 ， 作因式分解，网络函数可写成sNDnmmpsspzzasDH21式中： ， ， 称为网络函数的极点， ， ， 称为网络函数的零1p2npzz点。网络函数的零点和极点可能是实数、虚数或复数。网络函数的极点仅取决于电路参数而与输入形式无关，故称为网络变量的自然频率或固有频率。2. 零极点与冲激响应的关系零点不影响 的变化形式，仅影响波形的幅度，极点的分布直接影响 的变化形式：th th（1）若网络函数的极点位于 平面的原点，比如 ，则 ，冲激响应ssH1)(t的模式为阶跃函数。（2）当网络函数的分母中含有一个一阶因子 时（ 为实数） ， 含有下列形sth式的指数分量。 tke式中： 是极点处的留数。 ，则冲激响应是增长的指数函数； 。则冲激响k00应是衰减的指数函数。（3）当网络函数含有复数极点 时，则 含有下列形式的分量jthekktcos2式中： 是极点处的留数， 表示 的辐角。 ，则冲激响应振荡且幅值衰减；kk0。则冲激响应振荡且幅值增加， ，则为等幅振荡。00冲激响应在 时，实际上是零输入响应。而零输入响应表征了网络与电源无关的0t固有特性。也就是说，分析网络函数的极点与冲激响应的关系可以预见时域响应中的自由分量（瞬态分量）的特性。3. 网络函数的零极点与系统的稳定性之间的关系当冲激响应在时间趋于无限大时衰减到零，称这种电路为稳定的。如果极点全部位于的左半平面，则电路是稳定的；如果极点位于 的右半平面或在虚轴上且具有二阶以上s s的重极点，则电路是不稳定的；当极点位于 平面的虚轴上，且只有一阶极点，这种情况称为临界稳定系统。1413 网络函数与频率响应令网络函数 中复频率 等于 ，即为相应的频率响应函数。即sHsjjsH1414 卷积定理线性无源电路对外加任意波形激励的零状态响应，等于激励函数与电路的单位冲激响应的卷积积分，即 tehtr现在激励的象函数为 ，故sEsHEtehL也就是，激励函数与单位冲激响应的卷积的象函数等于激励函数的象函数乘以单位冲激函数的象函数。这叫做卷积定理。142 重点和难点1421 本章重点网络函数是由系统本身的特性决定的，与系统的激励无关，它在系统分析和系统综合中占有很重要的地位。学习网络函数重点在于：1. 网络函数的定义及性质；2. 网络函数的求解；3. 网络函数与冲激响应之间的关系；4. 网络函数的零极点；5. 网络函数的零极点分布与时域响应之间的关系；6. 网络函数的零极点分布与频率响应之间的关系；7. 利用网络函数求系统的零状态响应。1422 本章难点根据极点和零点的分布判断瞬态响应和频率响应的性状是本章的难点。143 典型例题例 14-1 求图 14-1（a）所示电路的网络函数 。)(0sUHi)(14a图iu1uF111u2o )(14b图 )(sUi 1)(sUs11s1 )(2sU)(sO 解 运算电路模型如图 14-1（ b）所示。结点电压方程为：)(1)()(2)()(1(00sUssUsssnnin经整理，得：)2.(.)(21)()( 11302 sssnin将（2）式代入（1）式，将 )()(300sUssi网络函数为 12)(0sUsHi例 14-2 如图 14-2 所示电路中，开关闭合前电容无电压，电感无电流。求 S 闭合后，电路对应响应 的网络函数。i解 这是个平衡电桥电路， 电阻两端电位相等，从电源端看进去的输入阻抗1ssZ21)(所求的网络函数 iF1H1F1H1V1S214图 12)()(sZsUIY例 14-3 求图 14-3（a ）所示电路中的电压比 。图中的运算放大器是理想)(0Ki运算放大器。 iu1R2C2R1C ou)(314a图 1R 2R)(314b图)(1sI)(sUi )(1sU)(2sI1sC)(2sU)(3sI 21sC)(4sI )(sUo解 运算电路模型如图 14-3（ b）所示，其中20204 01201321212i1 RsU)s()s(I )(C)()(IsU)s(U)s()(IRs）（虚 短 在 两个结点，可得如下关系 ,1U虚 断 ）.().()423sIKCL即)2.(.R)s(U)s(C 1)s(U201 01211i将（2）代入（1）并整理，可得， 1)( 21210 sCRsCsUKi例 14-4 如图 14-4 所示电路中，已知 = ， ， 。求网络函0F5n数 。)(2sHSu1R1iC2i:n1u2u2R41图解 在复频域列结点电压方程 ）（）（）（ ）（）（）（ sIUsCR1sCU)(2221 1s根据理想变压器特性再列补充方程 ）（）（ sn21）（）（ IsI将已知数代入上述方程并整理得： 0)(51.041.)(521sIUss联立解得 ）（）（ ss62所以 2105)(2sUHs例 14-5 若已知电路的转移函数 ，试求：Hss()24（1) 网络的极零点；（2) 绘出极零点分布图；（3) 绘出幅频特性曲线（由极零点分布情况画出幅频特性） 。解（1） Hss()24p12163, j电路零点 ，极点 、z013j2j（2） 极零点图如图 14-5（ a）所示。 3z1 3p2 jp1 )(514a图OH(j )122 )(514b图设 点由原点沿虚轴上移，在零点附近 为极小， 而极点附近s Hs()达极大，可得幅频特性如图 14-5（b） 。Hs()例 14-6 已知某线性网络在 作用下，响应相量 与激励相utUtSm()coOU量 之比为 。试求当激励为 时，该网络的零状SUjOS7271uttS()e()V2态响应 。uto()解 网络函数 Hss()271输入的象函数 UsuttsSS()()e()L2响应的象函数 ssssO()()()27112零状态响应Vuttto()ee)(22例 14-7 图 14-6（a）电路中，R=1，C=0.5F， 为激励， 为响应。试求：u1tu2（1）网络函数；（2）单位冲激响应；（3）单位阶跃响应；（4）网络函数的幅频特性。 RRCC)(1tu )(2tu)(614a图 02 21kj 1M1Nk k)(64b图 01)(jH)/(srad)614c图解 （1）求 。sH )(1)(1)(1)(2 sURCssRCUs网络函数=sH21)(12ss（2）对 取拉氏反变换，单位冲激响应为：sHV)(4)(2)( 21 tetsLth（3）当激励为阶跃函数时，有： sU1)(2)(2)(12 s对上式取反变换，有：V)()(2tetu（4）可用两种解法求，方法一：计算法。 令 s=j，网络函数的模值为幅频特性如图 14-6（c）12)(jjH方法二：图解法。首先求网络函数的零极点。零点， ；极点， 。画出零极21RCZ21RCP点分布图，如图 14-6（b）所示。由此画幅频特性 。方法是从零极点所在的复平面)(jH的虚轴上取不同的点 连接极点、零点得出线段 由于,.1k,.;,.1kNM，所以无论 为何值，均有 。而 在 的情况下，ZPk kNM)(j是一条平行于 轴的直线。 如图 14-6（c）所示。)(jH例 14-8 如图 14-7 所示电路为一阶低通滤波器，若 的冲激响应utO()V。试求：httt()esin()22（1） 之值；LC、（2） 频率为何值时，输出辐度为零频率时的 ？12ui uO1CL7-14图解（1） HsLtt()esin()2212s对图示电路sULCs()()Oi12比较可得 H， F L2C1（2） H(j)j12(j)14时， 0H(j)时， (j)012240rads例 14-9 回答下列各题：(1) 已知一线性电路（零状态）的单位阶跃响应为 21ttBeAtg）（求单位冲激响应 和网络函数 ；thsH(2) 一线性电路，当输入为 时，其响应为 ，又知这时其零状态为 。te)(R1t )(R2t试问该电路当输入为 时其响应 为多少？k解：（1）单位阶跃响应的导数则为单位冲激响应， )()()()()()(21 212121 tBAteBAtettBeAdtgthtt ttttt 的象函数就是网络函数thsH211)()( sshL（2） 因为线性电路的全响应=零输入响应+ 零状态响应本题给出了输入为 时的全响应 ，又给出了零状态响应为 ，因此，零输te)(R1t )(R2t入响应 ，)(R)(213t按照线性电路的性质：当该电路的激励增加时，其零状态响应将按同样的比例增加。即当输入变为 时，其零状态响应 ；本题中改变了电路的激励，而初tke )()(2'2tkt始状态不变，因此这时的零输入响应仍为 ，其全响应 为：)(R3t)(t)(1)(212' tktt例 14-10 电路如图 14-8 所示，已知在相同的初始状态，当 时，全响应)t(6us；当 ，全响应 。)(28)(.00tetu)(12tUsVe21)t(t.00 Su ou网 络线 性RC814图求：当 ，初始状态仍不变时的全响应 。)(6)(5tetus )(0tu解