已知正方形ABCD中E为对角线BD上一点过E点作EF

1【011】已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为DF 中点，连接 EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）解：（1）证明：在 RtFCD 中，G 为 DF 的中点， CG= FD 1 分同理，在 Rt DEF 中，EG= FD2 分 CG=EG3 分（2） （1）中结论仍然成立，即 EG=CG4 分证法一：连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点在DAG 与DCG 中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG5 分在DMG 与FNG 中， DGM= FGN，FG=DG ，MDG=NFG ， DMGFNG MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN 6 分在 Rt AMG 与 RtENG 中， AM=EN ， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG 8 分证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG，连接 MF，ME ，EC， 4 分在DCG 与FMG 中，FG=DG，MGF= CGD，MG=CG，DCG FMGMF=CD，FMGDCG MF CDAB 5 分 在 RtMFE 与 RtCBE 中， MF=CB，EF=BE，MFE CBEMECMEFFECCEB CEF90° MEC 为直角三角形 MG = CG， EG= MC8 分（3） （1）中的结论仍然成立，即 EG=CG其他的结论还有:EGCG10 分FBA DCEG第 24 题图DFBA DCEG第 24 题图FBACE第 24 题图2【012】如图，在平面直角坐标系 中，半径为 1 的圆的圆心 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于xOyO四点抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，且ABCD、 、 、 2abcDyxMN、分别与圆 相切于点 和点 MN、 AC（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交 轴于点 ，连结 ，xE并延长 交圆 于 ，求 的长EOF（3）过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ，BP判断点 是否在抛物线上，说明理由P【012】解：（1） 圆心 在坐标原点，圆 的半径为 1，O点 的坐标分别为ACD、 、 、 (10)()(0)ABCD， 、 ， 、 ， 、 ，抛物线与直线 交于点 ，且 分别与圆 相切于点 和点 ，yxMN、 、 AC 点 在抛物线上，将 的坐标代入(1)(MN， 、 ， 、 、 (1)()(1MN， 、 ， 、 ，得： 解之，得：2yaxbc1abc1abc抛物线的解析式为： 4 分21yx（2） 2514yx抛物线的对称轴为 ， 6 分151242OED，连结 ，90BF， °， ， EODBF又 ，5122DE， ，4F 8 分53210ED（3）点 在抛物线上 9 分P设过 点的直线为： ，C、 ykxbO xy NCD E FBMA PO xyNCDEFBMA3将点 的坐标代入 ，得： ，(10)CD， 、 ， ykxb1kb，直线 为： 10 分1yx过点 作圆 的切线 与 轴平行， 点的纵坐标为 ，BOPy将 代入 ，得： 1yx2点的坐标为 ，当 时， ，P(2)， 2211yx所以， 点在抛物线 上12 分21yx【013】如图，抛物线经过 三点(40)(02)ABC， ， ， ， ，（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点x的三角形与 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；OC若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得 的面积最大，求出点 D 的坐标DA【013】解：（1） 该抛物线过点 ，(02)可设该抛物线的解析式为 yaxb将 ， 代入，(40)A()B得 解得162ab.，125ab.，此抛物线的解析式为 （3 分）21yx（2）存在（4 分）如图，设 点的横坐标为 ，Pm则 点的纵坐标为 ，25当 时，14， AM21又 ，90COPA°当 时， O xyABC412（第 26 题图）D PMEO xyABC412（第 26 题图）4即 2154m解得 （舍去） ， （6 分）124，(21)P，当 时， ，即 AMOCPAMCO 2152(4)m解得 ， （均不合题意，舍去）1m25当 时， （7 分）4(1)，类似地可求出当 时， （8 分）2)P当 时， 1m(3)，综上所述，符合条件的点 为 或 或 （9 分）(1)，5)，(314)，（3）如图，设 点的横坐标为 ，则 点的纵坐标为 D04tD25t过 作 轴的平行线交 于 由题意可求得直线 的解析式为 （10 分）yACEAC1yx点的坐标为 （11 分）E12t， 2 2151ttt2224()4DACSttt当 时， 面积最大 （13 分）t 1D，【014】在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形 的两顶OABC点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在原点.现将正Ayx方形 绕 点顺时针旋转，OBC当 点第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中，边交直线 于点 ， 边交 轴于点 （如图）.MBCxN（1）求边 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当 和 平行时，求正方形NA旋转的度数；A（3）设 的周长为 ，在旋转正方形pOBC的过程中， 值是否有变化？请证明你的结论.【014】 （1）解： 点第一次落在直线 上时停止旋转， 旋转了 .yxA045 在旋转过程中所扫过的面积为 .4 分OA25360(第 26 题)O A BCM Nyxxy5（2）解： ， , .MNAC45BNAC45BNMCA . .又 ， .B又 , , . .OAOOO.旋转过程中，当 和 平行时，正方形 旋转的度数为1(90452 B.8 分45（3）答： 值无变化. 证明：延长 交 轴于 点，则 ，pBAyE045AM， .又 ，0094545CONAOMOCNOC. . . 018AECN,E又 , , .ME . ，MNAE .4pBMCNBABC 在旋转正方形 的过程中， 值无变化. 12 分Op【015】如图，二次函数的图象经过点 D(0， )，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截得的线397段 AB 的长为 6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标；在抛物线上是否存在点 Q，使 QAB 与ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由【015】设二次函数的解析式为：y=a(x-h) 2+k顶点 C 的横坐标为 4，且过点(0， )397y=a(x-4) 2+k ka16397（第 26 题）OABCMNyxxy6又对称轴为直线 x=4，图象在 x 轴上截得的线段长为 6 A(1，0)，B(7，0)0=9a+k 由解得 a= ，k= 二次函数的解析式为：y= (x-4)29393点 A、B 关于直线 x=4 对称 PA=PB PA+PD=PB+PDDB 当点 P 在线段 DB 上时 PA+PD 取得最小值 DB 与对称轴的交点即为所求点 P设直线 x=4 与 x 轴交于点 M PMOD，BPM=BDO，又PBM=DBOBPMBDO 点 P 的坐标为(4， )BOD3793由知点 C(4， )，又AM=3，在 RtAMC 中，cotACM= ，3ACM=60 o，AC=BC，ACB=120 o当点 Q 在 x 轴上方时，过 Q 作 QNx 轴于 N 如果 AB=BQ，由ABCABQ 有BQ=6，ABQ=120 o，则QBN=60 o QN=3 ，BN=3，ON=10，此时点 Q(10，