量子力学导论答案下(7-12)
第七章 粒子在电磁场中的运动 7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场 和均匀磁场 中运动，求能级本征值和本征。B（参导论 ）25P解：以电场方向为 轴，磁场方向为 轴，则xz， （1）0,0去电磁场的标势和矢势为， （2）x,BxA满足关系 ， 粒子的 Hamiton 量为 （3）xqpxCqpuHzyx 221取守恒量完全集为 ，它们的共同本征函数可写成zyp,（4）zpyiex,其中 和 为本征值，可取任意函数。yPz满足能量本证方程： x,zyxEzyxH,因此 满足方程（5）xxqpxCqBpuzyx 221亦即，对于 来说， 和 式等价：HF222 1zyypuxpqBxuqH（6）2202022 zyCx其中 （7）upBqpuqBCyy20式（6）相当于一维谐振子能量算符 uCxxu ,21202再加上两项函数，因此本题能级为 220zypuCBqnE2（8）22121zypuBCuqBn其中 和 为任意实数， yPz ,0n式（4）中 为以 为 变量的一维谐振子能量本征函数，即x（9）20eHnn为厄密多项式， 。nH00xCBqxu7.2）设带电粒子在均匀磁场 和各向同性谐振子势 中运动，求能量本征值。B 21rrV第八章 自旋8.1) 在 表象中，求 的本征态。zx解：在 表象中， 的矩阵表示为：zxx01设 的本征矢（在 表象中）为 ，则有xzbaba可得 及 。abb1,2则 则,1;,1a利用归一化条件，可求出 的两个本征态为x。,1;2,128.2) 在 表象中，求 的本征态， 是 方向的单位矢.zncos ,ins ,cosin ,解：在 表象中， 的矩阵表示为z， ， （1）x01y0iz10因此， zyxn nn（2）cossiiiizyxz eii3设 的本征函数表示为 ，本征值为 ，则本征方程为nba，即 （3）0n 0cossinicbaeii由（3）式的系数行列式 ，可解得 。1对于 ，代回（3）式，可得1 xyyxii niineeba 2scosn归一化本征函数用 表示，通常取为,或 （4）ie2sinco,1 2sincoiie后者形式上更加对称，它和前者相差因子 ，并无实质差别。若用 的直角坐标分量来表示，可以取为2i n或 （4）yxzzinn121zyxzi1如 ，二者等价（仅有相因子的差别） 。若 ，应取前者；若 ，应取后者。zn ,01,0n对于 类似地可以求得,1 xyyxii niineeba 12cosinsinco或 （5）ies,1 2csiiie或 或 （5） zyxznin121 yxzzin1若 ，取 ; 若 ，取 。,001,0018.3) 在 本征态 下，求 和 。zs021zs2xs2y解： 2x2xx但 （常数矩阵） ，4s4，01012xs，类似有 。x42ys48.4) （a）在 本征态 下，求 的可能测值及相应的几率。 （b）同第 2 题，若电子处zs21n于 的自旋态下，求 的各分量的可能测值及相应的几率以及 的平均值。n 解：（a）利用 8.2）题求得 的本征函数，容易求出：在自旋态 中， 的几率为 n 012n（1）zn12cos21的几率为 1n（2）zn12si21（b）在自旋态 态， 的几率为1nz（3）zn12cos21的几率为： （4）1z zi12zzzz nn2或 （5 ）z zncos2sico12si1co2考虑到 ，zyxn各分量以及 各分量在 的构造中地位对称，所以利用式（3） 、 （4） 、 （5） ，作 轮换，就可推论出以下n zyx,各点：的几率为 ， （6）1xx2（7）xn的几率为 （8）y y（9）y将式（5） 、 （7） 、 （9）合并写成矢量形式如下：5自旋态 中， （10）1nn类似地，容易算出：自旋态 中， （11）1n解二：（a）在 自旋态 中， 的可能测值为本征值 设相应的几率为 及 ，则 z2n ;1w（12）wwn1由于 （13）zyxnn考虑到在 的本征态中 和 的平均值为 ， 的平均值即为其本征值，因此在 态下， z 0z 21（14）cos1zzn由式（12） 、 （14） ，并利用 ，就可求出1w， （15）zn2zn2此即解一中的式（1） 、 （2） 。（b）在式（14）中， 是 轴和 的夹角。 轴和 的选取是任意的。完全可以将原来的 轴作为新的 轴， zn而原来的 取作新的 轴。由此可知：在 的自旋态中， 的平均值仍为 ，即 。再令 轮换，nz1nzcosnzyx,即得自旋态 中， （10）1在 态下 各分量的取值大部分当然均为 ，其几率也可估照（a）中计算而写出，即1 1的几率为 （6）xxn2的几率为 （8）1yy的几率为 （3，4）zz8.5) 证明 （ 为常数）量yxixizze2sincos8.7）由两个非全同粒子（自旋均为 ）组成的体系，设粒子间相互作用表为 （不考虑轨迹运动） 21sAH。设初始时刻（ ）粒子 1 自旋“向上” ，粒子 2 自旋“向下” 。求时刻 时，0t 1zs2z 0t(a) 粒子 1 自旋向上的几率（答： ，取 ）2coAt(b) 粒子 1 和 2 的自旋向上的几率（答： ）0(c) 总自旋 s=0 和 1 的几率（答：都是 ）1(d) 求和的平均值（答： ， ， ） 。021 yxyxss Atszcos21Atzcos216解：从求体系的自旋波函数入手，由于（1）2321sAsH易见总自旋 是守恒量，所以定态波函数可以选为 、 的共同本征函数，按照总自旋量子数 的不同取值，s 2sz s本征函数和能级为（2）43,0,101AEssM时，体系的自旋态为0t（3）0121因此， 时波函数为t（4）tiEtiEeet 010即 43421221 iAtiAt et （4）4sin1cosiAteit(a）由式（ 4）可知，在时刻 ，粒子 1 自旋“向上” 同时粒子 2 自旋“向下” ，相当于 项的几率为t 21。2cosAt(b)粒子 1 和 2 自旋均“向上” 相应于 ，式（4）中没有这种项的几率为 。这是容易理解的。因210为总自旋 为守恒量，而体系初态 ，所以任何时刻 必为 0，不可能出现两个粒子均“向上”zs0zszs的情形。z(c)由式（4）可知，总自旋量子数 取 和 的几率相等，各为 。由于 守恒，这个几率不随时间改变s10212s(d)利用式（4）容易算出 和 的平均值为12（5） cos21,csins 012221 。Ats tttstztztz ytxytx第九章 力学量本征值问题的代数解法91） 在 8.2 节式（21）中给出了自旋（ ）与轨迹角动量（ ）耦合成总角动量 的波函数 ，这相当ljjlm7于 的耦合。试由 8.2 节中式（21）写出表 9.1（a）中的 CG 系数 21,21sjl jmj21解：8.2 节式（21a） （21b）: 21),0( 21mllj jjlm112lmYl（21a） 21,2, jjmjjYjjlj21jljlm1lmYll（21b） 21,2),0( 21 jjmjjYjjlljjl此二式中的 相当于 CG 系数中的 ，而 , 。1j2sj 21,1j因此， （21a）式可重写为jm2 2121jmjj 2121111 mjjjj（21a） 211212112),21( jjmjjjlja对照 CG 系数表，可知：当 , 时 ，1j 221112jjmj而 时，221112jmjj8对于 的（21b）式，有 21jlj 21111, jmjmj21111,2jjj92）设两个全同粒子角动量 ，耦合成总角动量 ，21jjJ（1）JMj22121 jmjmJ利用 系数的对称性，证明CGJMjjJjp221由此证明，无论是 Bose 子或 Fermi 子， 都必须取偶数证：由式（1） ， JMj21121212jmjmj把 , 21m12211jjJ利用 系数的对称性 CG2121 jmjmj M(2) Jjj对于 Fermi 子， 半奇
