2021美赛赛前准备第1场

2021寒假数学建模活动 2021/1/16 黄海洋 北京师范大学数学学院 参加2021年美国大学生数学建模竞赛注意事项 p参赛队员一定自己注册完成参赛全过程，不要经 过代理公司。 p不要参加任何商业网站和网上讨论群。 p不要直接采用非自己完成的模型，图表，程序。 注意论文写作规范！ p保护好自己写的论文，不要请别人翻译或润色， 不要自己上网查重！ 什么是数学建模？ 数学建模（Mathematicalmodelling)就是用数学的 语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并解 决实际问题的一条路径。 实际问题数学模型 实际问题的解答数学模型的解答 表述 求解 解释 验证 (归纳) 如何走进数学建模？ 第一步：学习数学基础知识 p学习微积分，线性代数，近世代数，解析几何，微分几何，常微分方程，概率 论，数理统计，数学建模等相关课程. p如果将数学比喻为水中的冰山，则在水面之下是纯数学领域，水面之上为冰山 的尖顶，这是应用数学可见部分，水底下的部分要大得多。 A. Borel p数学建模没有数学不行。没有广博的数学知识和严格的数学逻辑思维训练，就 很难运用数学建模来解决实际问题。 p数学建模只有数学也不行。掌握了数学知识只是应用数学解决实际问题的必要 条件，因为实际问题很少以数学的形式表现，看起来杂乱无章，很少的问题能 够直接套用现成的数学方法，所以缺乏对实际问题背景知识的了解，没有洞察 力和创造力，也很难运用数学建模来解决实际问题。 走进数学建模第二步：参加校内数学建模竞赛活动 实践是将书本知识转变为自身能力的唯一途径。 要让学生亲口尝一尝梨子的滋味，亲身体验一下数学的创造过程，取得在课堂 里和书本上无法代替的宝贵经验和切身感受。 数学建模不仅是数学走向应用的必经之路，而且是启迪数学心灵的必胜之途。 -李大潜中学和大学为何要重视数学建模教育 北师大近年校内竞赛题：了解本专业数学应用状况，了解本学校学科优势方向， 了解社会发展的需求，了解科技发展前沿。 2020 A题：新冠肺炎疫情风险研究 2020 B题: 手机镜头工业自动检测 2019 A题： “流浪地球”计划的可行性分析 2019 B题: 和谐宜居之都 2018 A题：基于船舶时空动态航迹大数据的飓风影响分析 2018 B题： 资产清算交易策略 走进数学建模 第三步：参加全国大学生数学建模竞赛 p每年秋季开学第二周，9月上旬中国工业与应用数学学会举办全国大学生 数学建模竞赛。 p 自1992年起举办第一届全国大学生数学建模竞赛，2020全国参赛报名队数 45680，成功提交参赛作品38596队。目前这项竞赛已成为全国高校规模最大 的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。2021年将迎接第 三十届全国大学生数学建模竞赛。 p 2019年 全国共有42992个队参赛，获国奖1690队， 本科组一等奖295(0.75%), 二等奖1199（3.1%）。 p2020年全国共有45680个队参赛。北京报名队数2993。 24队获得全国一等奖，82队获得全国二等奖，296队获得北京市一 等奖，483队获得北京市二等奖，获奖率30%。 73队未获得成功参赛证书， 24队违规，73队违纪。 走进数学建模 第四步：申请本科生研究项目，毕业论文设计， 参加深圳杯挑战赛，江苏大数据开发与应用大赛 ，美国大学生数学建模竞赛。 p自1985年起美国举办第一届数学建模竞赛。 参加数学建模竞赛培养的能力 p从实际问题中发现并提出数学问题； p能够快速获取信息，通过文献阅读掌握新知识； p抽象定义数学概念，设置变量和参量，确定求解目标； p选择适当的数学方法，建立数学模型； p不仅会演绎推理、编程计算，而且熟悉数学软件； p胆大心细，坚韧不拔，自信自强； p掌握科技论文写作方法，写作严谨，表达清晰； p具有团队合作意识和精神。 边学边做！ 边做边学！ 数学建模基本过程 p读题：理解实际问题情境，明确解决问题的关键和要 达到的目标； p翻译：从实际问题中简化提炼出数学问题； p建模：选择变量，采用或构建适当的数学模型； p求解：运用数学推理和编程计算方法求解数学模型； p检验：将数学模型的结果与实际情形比对，检验模型 的结果； p解释：分析数学模型的局限和适应范围，提供解决实 际问题的结论。 读题了解什么？ （1）赛题要求什么？ （2）目的是什么？ （3）与哪些因素有关？ 在查阅文献前必须讨论这些问题！ 否则将陷于海量的文献，失去研究的方向，坠入抄 袭的歧途。 2017MCM A: Managing The Zambezi River 赞比西（Zambezi）河上的卡里巴（Kariba）大坝 是非洲较大的水坝之一。它的建设是有争议的，南 非风险管理研究所做的2015年度报告中提出了大坝 急需维护的警告。对解决这一问题，赞比西河管理 局（ZRA）有若干选项，其中特别感兴趣的有三个 选项： （选项1）修复现有的卡里巴大坝， （选项2）重建现有的卡里巴大坝，或 （选项3）拆除现有的卡里巴大坝，在赞比西河沿 岸修建10到20个较小的系列水坝来代替。 本问题有两个主要要求： 要求1：赞比西河管理局要求对所列出的三个选项 进行简要评估，并提供与每个选项相关的潜在成本 和效益的足够详细的信息。要求除了主报告外，还 必须提供一份不超过两页的简要评估报告。 要求2：详细分析选项(3)拆除卡里巴大坝，在 赞比西河沿岸修建10到20个较小的系列水坝来代替 。这个新的水坝系统应与现有的卡里巴大坝具有相 同的整体水管理能力，同时为卡里巴湖提供与现有 大坝相同或更高水平的保护和水管理能力。你的分 析必须支持关于沿赞比西河新坝的数量和位置的建 议。 在要求2的报告中，应该包括一个策略，用于调节 通过新的多坝系统的水流量，从而在安全和成本之 间提供合理的平衡。除了解决已知的或预测的正常 水循环外，你的策略应为赞比西河管理局管理人员 提供指导，解释和证明应当采取的行动，以正确处 理应急水流情况（即洪水和/或长期低水位的状况） 。你的策略应为从最大预期排放到最小预期排放的 极端水流提供具体指导。最后，你建议的策略应包 括解决对赞比西河不同地区受到极端条件最有害影 响的位置和时间长度的限制信息。 求什么? 目标是什么？ 要考虑哪些因素？ 管理赞比西河水利资源方案；如果修小水库系 ，修建水坝数量和位置，以及调节水流量的策 略。 最小的代价获得最大收益 蓄水，泄洪，发电，保护生态， 地形高程，地质地貌，上游流 量、降雨量，雨季旱季，坝高， 建坝成本，水的需求， . 定义“潜在成本和效益”，“整 体水管理能力”， “极端条件最有害影响”， 变量：建水坝成本、管理 成本，发电量、蓄水量、 泄洪量、水流量、 数学建模第一要素“数学定义” 引入数学定义，确定变量和参量。 数学的看家本领就是把概念弄清楚。 把数学定义选择好，实际问题就迎刃而解。 有了数学定义，才有数学模型。 分析变量之间关系，选择适当数学模型。 2018MCM A：多跳高频无线电波的传播 背景：高频（HF，定义为3-30MHz）无线电波通过 电离层和地球表面之间的多次反射可以长距离传播。 第1部分：建立信号经海面反射的数学模型。对一个 100瓦的低于最大可用频率的高频恒定载波信号，从 陆地上的一个点源发出，确定在波涛汹涌海洋上第1 次反射的强度，并与在平静海洋上第1次反射的强度 进行比较。如果在平静海洋上发生多次反射（2次到 n次），那么在信号强度低于可用的信噪比（SNR） 阈值10dB之前，可以达到的最大跳数是多少？ 第2部分：如何用第1部分的结果比较在山区或崎岖 地形与光滑地形上的高频反射？ 第3部分：船在穿越海洋时将使用高频无线电波进 行通信，并接收天气预报和交通报告。如何改变模 型使其适用于在波涛汹涌海洋上行驶的船上的接收 器？使用相同的多跳路径，船能保持多长时间的通 信？ 第4部分：准备一份简短的（1-2页）研究结果的概 要，适合作为IEEE通讯杂志中的短注发表。 求什么? 目标是什么？ 要考虑哪些因素？ 高频无线电波的最大跳数 确定高频电波的传输范围 发射功率、频率、电离层高度和 吸收强度、反射面粗糙度、信号 能量衰减率、 定义“高频无线电波的跳数” 难点：连续系统离散化. 无限电波 数学建模第二个要素“合理假设” 通过假设，将不确定因素确定化，简单代替复杂， 弥补信息的缺失。 数学建模成功与否，关键在假设，在切合实 际与数学简化之间选择恰当的平衡点, 体现 了建模工作的想象力和创造力。 在一些假设下得到的结论可靠吗？ 必须经过参数的灵敏度分析和模型稳健性分析 灵敏度分析 p 需要对假设的合理、必要和影响进行清晰的描述 ，给出某种理由，引用文献，分析它的含意。 pMCM一篇评论： 这篇文章比其它的优秀的首要 原因之一就是假设不仅被列出，而且每一个都有 正当的理由。假设有理由，并且注明如何在计算 中运用假设。这在建模过程中非常重要，但是常 常被忽略，因此，由于这个队在这一方面做得非 常完美而被表扬。 2015年 MCM A：消除埃博拉 世界医学协会（WMA）宣称他们的新药物可以阻止埃 博拉疫情发展，并治愈早期患者。请建立一个切实、 合理、实用的模型，这个模型不仅要考虑到诸如疾病 的传播、药物的需求量、可行的运输系统、输送的地 点位置、疫苗或药物的研制和生产速度等；还可以考 虑所有其它的你们小组认为是必要的关键因素，以消 除埃博拉疾病（或至少能控制目前的紧急状态）。除 了提交参加竞赛的建模论文外，请你们再为世界医学 协会准备一份1-2页的非专业的信函用于他们的通告。 求什么? 目标是什么？ 要考虑哪些因素？ 选择什么数学模型？ “消除埃博拉传染病”的方案：新药 品生产，配送，及其它措施。 在最短时间消除疾病； 以最小的代价消除疾 病。 传染病发生和流行的特点，传播 方式，传染率，潜伏期，死亡率 ，各地的疫情，药品的疗效， 疫苗的免疫率，研制生产期和成 本，运输的渠道和时间， 基于数据显示， 假设各国传染病特征不同，即传染率，死亡率，治愈率不同。 因此各地疫情发展不同，在不同时期需要药品量不同。 数学建模第三要素“聚焦实际” p数学应用自始至终聚焦“实际”.不仅建立模型要根据 实际，而且模型的数学推理也常借助实际，最后要 用“实际”检验模型。 p一个好的数学模型不在于它使用了多么高深的数 学。作为一个成功的模型应该有较强的实际背景， 最好是直接针对某个实际问题的；模型应该是经过 实际检验表明是可以接受的；模型应该能够使我们 对所研究的问题有进一步的了解；而且也应该是尽 可能的简单以利于使用者理解和接受的。 数学建模目标是解决实际问题！数学建模目标是解决实际问题！ 练习题 p2020MCMAMovingNorth p2019MCMBSendintheDrones DevelopinganAerialDisastrReliefResponse System p2020MCMCAWealthofData 2020MCM A题：北移 全球海洋温度影响某些海洋生物的栖息地的质量。当温度变化 太大，它们无法继续繁殖时，它们就会去寻找其他更适合它们 现在和未来生活和繁殖的栖息地。其中一个例子就是美国缅因 州的龙虾种群，它们正缓慢地向北迁移到加拿大，那里的海洋 温度较低，为它们提供了更合适的栖息地。这种地理上的种群 转移会严重影响依赖海洋生物的公司的生计。 您的团队已被苏格兰北大西洋渔业管理协会聘请为顾问。该协 会希望在全球海洋温度上升的情况下，更好地了解苏格兰鲱鱼 和鲭鱼从它们目前的栖息地苏格兰附近迁移的有关问题。这两 种鱼类为苏格兰渔业做出了巨大的经济贡献。鲱鱼和鲭鱼种群 分布位置的变化，可能会让规模较小的苏格兰渔业公司在经济 上变得不适应实际情况。这些公司使用渔船上没有冷藏设备。 1.建立一个数学模型来确定这两种鱼类在未来50年 最有可能生存的位置，假设水温将发生足够大的变 化，从而导致种群迁移。 2.基于海水温度发生变化的速度,用你的模型来预 测最好的情况,最坏