江苏省南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试数学试题含答案
南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分 160 分，考试时间 120 分钟)参考公式: 样本数据 12,nx 的方差221()niisx, 其中 1nix.一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知集合 2,10U, 1,A, 则 UAð= .2.复数2(1)i的共轭复数是 3.已知某人连续 5次投掷飞镖的环数分别是 8, 9, 0, 1, 8, 则该组数据的方差为 .4.袋中装有 2 个红球, 2 个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出 2 个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 .5.在等差数列 na中, 若 753a, 则其前 9 项和 9S的值为 6.设 ,xy满足约束条件0,26yx, 则目标函数 23zxy的最大值为 7.如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 .8.将函数sin(2)3yx的图像向左平移 0个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则 的最小值为 .9.现有如下命题：过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；如果两个平行平面和第三个平面相交, 那么所得的两条交线平行；如果两个平面相互垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.则所有真命题的序号是 10. 在 ABC中, 若 9cos245AB, 则CA的值为 11.如图, 在等腰三角形 中, 底边 2, D, 12E, 若12D, 则 CE= 12.已知 1F、 2分别是椭圆1482yx的左、右焦点, 点 P是椭圆上的任意一点, 则12|PF的取值范围是 13.若 x, y满足222log4cs()lnlcos()yexyxy, 则 cos4yx的值为 14.已知函数21(),0,()ffxx, 若关于 x的方程 ()fkx0)有且仅有四个根, 其最大根为, 则函数25()674gtt的值域为 二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. (本小题满分 14 分)在直三棱柱 1CBA中, , D为棱 1C上任一点.(1)求证：直线 1平面 ；(2)求证：平面 D平面 1.16(本小题满分 14 分)在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c (1)若 cos(A)sinA，求 A 的值；(2)若 cosA，4bc ，求 sinB 的值17(本小题满分 14 分)近年来，某企业每年消耗电费约 24 万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费 (单位: 万元) 与太阳能电池板的面积(单位: 平方米 )成正比, 比例系数约为 0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费 C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积 x(单位:平方米)之间的函数关系是()(0,21kCxk为常数). 记 F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村 15年共将消耗的电费之和. (1)试解释 ()的实际意义, 并建立 关于 x的函数关系式；(2)当 x为多少平方米时, 取得最小值？最小值是多少万元？18. (本小题满分 16 分)如图, 在平面直角坐标系 xOy中, 已知椭圆2:1(0)xyCab经过点 M(32,),椭圆的离心率23e, 1F、 2分别是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆 C的方程；(2)过点 M作两直线与椭圆 分别交于相异两点 A、 B. 若直线 A过坐标原点 O, 试求 2MF外接圆的方程；若 B的平分线与 y轴平行, 试探究直线 的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.19(本小题满分 16 分) 对于定义在区间 D上的函数 ()fx, 若任给 0D, 均有 0()fx, 则称函数 ()fx在区间 上封闭.试判断 ()1fx在区间 2,上是否封闭, 并说明理由；若函数3ag在区间 3,0上封闭, 求实数 a的取值范围；若函数3()hx在区间 ()baZ上封闭, 求 ,b的值.20(本小题满分 16 分)若数列 na是首项为 612t, 公差为 6 的等差数列；数列 nb的前 项和为 3nSt.(1)求数列 和 b的通项公式；(2)若数列 nb是等比数列, 试证明: 对于任意的 (,1)nN, 均存在正整数 nc, 使得1nca, 并求数列 n的前 项和 nT；(3)设数列 nd满足 ab, 且 d中不存在这样的项 kd, 使得“ 1kd与1k”同时成立（其中 2k, N）, 试求实数的取值范围南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）21选做题 在 A、B、C 、 D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修 41：几何证明选讲）如图，圆 O的直径 8, 为圆周上一点, 4BC, 过 作圆的切线, 过 A作直线的垂线 AD, 为垂足, 与圆 交于点 E, 求线段 A的长B.（选修 42：矩阵与变换）已知矩阵1 2xM的一个特征值为 3, 求 M的另一个特征值及其对应的一个特征向量.C（选修 44：坐标系与参数方程）在极坐标系中, A为曲线2cos30上的动点, B为直线cosin70上的动点, 求 B的最小值.D(选修 4-5：不等式选讲）设 12,na都是正数, 且 12na=1, 求证： 12()()2naa.必做题 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内 .22（本小题满分 10 分）某射击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为 1P32, 乙的命中率为 2P, 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该射击小组为“先进和谐组”.若 2P1, 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；计划在 2013 年每月进行 1 次检测, 设这 12 次检测中该小组获得 “先进和谐组” 的次数为 , 如果 5E, 求 2的取值范围.23（本小题满分 10 分）已知nxf)2(), 其中 *N(1)若展开式中含 3x项的系数为 14, 求 n的值；(2)当 时, 求证： )(f必可表示成*1()sN的形式.2013 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.1.0,2 2. 34i 3. 4. 235. 27 6. 26 7.3 8. 69. 10.2311. 0 12.0,2 13.1 14.41,)25二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15(1)证明:由直三棱柱 1CBA,得 1/AB4 分而 ,EFD面 面 ,所以直线 EF平面 7 分(2)因为三棱柱 1CBA为直三棱柱,所以 1AB,又 BC,而 1B面 1C, B面 1C,且 1B,所以 A面 11 分又 D面 ,所以平面 A平面 1BC14 分17解: (1) (0)C的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费2 分由()410k,得 0 3 分所以2185.5.5,0Fxxx7 分(2)因为180.()0.2.259.10 分当且仅当.5()x,即 5时取等号 13 分所以当 x为 55 平方米时, F取得最小值为 59.75 万元14 分(说明:第(2)题用导数可最值的,类似给分)18解: (1)由23e，2289cab，得 2ab，故椭圆方程为219xyb3 分又椭圆过点 (32,)M，则 2189b，解得 24b，所以椭圆的方程为21364xy5 分(2)记 12F的外接圆的圆心为 T.因为13OMk,所以 A的中垂线方程为 3yx,又由 (3,)M, 24,0,得 1F的中点为72,，而 21MFk，所以 2F的中垂线方程为 32yx，由32yx，得39,4T8 分所以圆 T 的半径为2295404，故 2MAF的外接圆的方程为22314xy10 分(说明:该圆的一般式方程为2290)(3)设直线 A的斜率为 k， 1,xy， 2,By，由题直线 MA与 B的斜率互为相反数，直线 MB的斜率为 k.联立直线 MA与椭圆方程：2321364kxky，整理得 2 2918213108xkxk，得1283kx，所以22391k，整理得 212369kx，2210869kx13 分又 2122216yxkkk=322108199kk，所以2211936ABkyx为定值16分19解: (1) ()fx在区间 ,上单调递增,所以 ()fx的值域为-3,02 分而-1,0 2,1,所以 ()f在区间 21上不是封闭的 4 分(2)因为33()xag,当 时,函数 ()的值域为 ,10,适合题意5 分当 3a时,函数 ()gx在区间 3,上单调递减,故它的值域为309,14a,由09,143,10,得9104a,解得 31a,故 3a7 分当 时,在区间 3,10上有()31xg,显然不合题意 8 分综上所述, 实数 a的取值范围是 a9 分(3)因为3()hx,所以2()3(1)hxx,所以 在 1上单调递减,在 ,)上递增,在 上递增.当 ab时, ()hx在区间 ,ab上递增,所以()hab,此时无解10 分当 1且 时,因 max()(1)2,矛盾,不合题意11 分当 ab且 时,因为 (1)2,(h都在函数的值域内,故2ab,又3()ahabb
