中考专项13圆的基本性质

考纲要求:1理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念.2了解弧、弦、圆心角的关系；理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系.3能利用圆的有关概念解决有关简单问题，能利用垂径定理解决有关简单问题；能利用圆周角定理及其推论解决有关简单问题.基础知识回顾: 知识点一：圆的有关概念 1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形如图所示的圆记做O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过 圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的来源:学&科&网弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.知识点二 ：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论来源:Zxxk.Com定理来源:学.科.网Z.X.X.K来源:学科网ZXXK垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧来源:学科网来源:学科网ZXXK来源:Zxxk.Com来源:学+科+网Z+X+X+K来源:学科网ZXXK推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中： 弧AC=弧BC;弧AD=弧BD；AE=BE;ABCD;CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等知识点四 ：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,A=1/2O. 图a 图b 图c( 2 )推论： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，A=C. 直径所对的圆周角是直角.如图c,C=90.圆内接四边形的对角互补.如图a，A+C=180，ABC+ADC=180.应用举例:招数一、垂径定理及其推论【例1】如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，APC=30，则CD的长为（）A B2 C2 D8【答案】C【解析】作OHCD于H，连结OC，如图，【例2】九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A13寸 B20寸 C26寸 D28寸【答案】C【解析】解：设O的半径为r在RtADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，O的直径为26寸，故选：C学！科网招数二、圆周角定理及推论【例3】如图，平面直角坐标系中，P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是P上的一动点当点D到弦OB的距离最大时，tanBOD的值是（）A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】如图，连接AB，过点P作PEBO，并延长EP交P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，【例4】如图，在ABC中，ACB=90，过B,C两点的O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交O于点F.连接BF,CF.若EDC=135,CF=,则AE2+BE2的值为 （ ）A8 B12 C16 D20【答案】CAED=90，BED=90，BD 为O的直径，BD=4；在RtBDE中，,AE2+BE2=16.故选C.招数三、圆内接四边形的相关计算【例5】如图，A、B、C是上的三个点，若，则_【答案】【解析】如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，故答案为：【例6】如图，在O的内接五边形ABCDE中，CAD30，则BE_.【答案】210.故答案为: 210.招数四、分类讨论在圆的基本性质计算中的应用【例7】 点A、B、C在半径为2 cm的O上，若BC cm，A的度数是 【答案】60或120分析：应分点A在弦BC所对的优弧上和点A在弦BC所对的劣弧上两种情况【例8】如图，在矩形中，点在上，点在边上一动点，以为斜边作.若点在矩形的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则的值是_【答案】0或或4【解析】当点F与点A重合时，以为斜边恰好有两个，符合题意.当点F从点A向点B运动时，当时，共有4个点P使是以为斜边.当时，有1个点P使是以为斜边.方法、规律归纳:1圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等圆中才成立.。2在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.3 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形实战演练:1.如图，量角器的0度刻度线为，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点，直尺另一边交量角器于点，量得，点在量角器上的读数为，则该直尺的宽度为_【答案】【解析】连接OC,OD,OC与AD交于点E，2. 如图，正ABC 的边长为2，点A、B在半径为的圆上，点C在圆内，将正ABC绕点 A 逆时针旋转，当点 C 第一次落在圆上时，旋转角的正切值为_【答案】 【解析】解：如图，分别连接 OA、OB、OD；OAOB ，AB2，OAB 是等腰直角三角形，OAB45；同理可证：OAD45，DAB90；CAB60，DAC906030，旋转角的正切值是 ，故答案为：学！科网3. 某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转从图中所示的图尺可读出sinAOB的值是A B C D【答案】D【解析】如图，连接ADsinAOB=sinADO=.故选：D4.如图，O的半径OD弦AB于点C，连接AO并延长交O于点E，连接EC.若AB8，CD2，则EC的长为()A. 2 B. 2 C. 2 D. 8【答案】BAE是O的直径，ABE=90，在RtABE中，AE=10，AB=8，BE=6，在RtBCE中，BE=6，BC=4，CE=，故选D5.在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆周角的度数为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】试题解析： 同理 AOB与ADB都对, 大角 则弦AB所对的圆周角为或.故选D.6. 如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线ykx（k+1）与O有两个交点A、B，则AB的最短长度是_【答案】 7. 如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN=30，点B为劣弧AN的中点点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A. B. 1 C. 2 D. 【答案】AAMN=30，AON=2AMN=230=60，点B为劣弧AN的中点，BON=AON=60=30，由对称性，BON=BON=30，AOB=AON+BON=60+30=90，AOB是等腰直角三角形，AB=OA=1=，即PA+PB的最小值=故选A8. 如图，在矩形中，以为直径作.将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为_【答案】4解：连结EO并延长交CF于点H.在RtOCH中，根据勾股定理得CH=2,CF=2CH=4.故答案为：4. 学！科网9. 如图所示，BC是半圆O的直径，ADBC，垂足为D，弧长AB等于弧长AF，BF与AD，AO分别交于点E，G.求证：（1）DAOFBC；（2）AE=BE.（2）连CF，AC，AB由在同圆中等弧对的圆周角相等得到BCA=ACF，ACF=ABF，由同角的余角相等得到BAD=BCA，所以ABF=BAD，即BE=AE试题解析：（1）连CF，OF如图所示：（2）连CF，AC，AB，如图所示：AB弧长等于AF弧长，BCA=ACF，ACF=ABF，BC为圆的直径，BAC=90，ABC+ACB=90，又ADBC，ADB=90，ABC+BAD=90，BAD=BCA，ABF=BAD，即BE=AE10. 如图，AB是O的直径，AB10，BC、CD、DA是O的弦，且BCCDDA，若点P是直径AB上的一动点，则PD+PC的最小值为_【答案】10CCD=120-30=90，CD为圆的直径，AB是O的直径，AB=10，PD+PC的最小值为10，故答案为：10