课后限时集训44 空间向量的运算及应用

课后限时集训(四十四)空间向量的运算及应用建议用时：40分钟一、选择题1(多选)(2020福建省晋江市南侨中学月考)已知向量a(1,1,0)，则与a共线的单位向量e()A.B(0,1,0)C.D(1,1,1)AC由题意得，ae，因而|a|e|，得|a|.故e，而|a|，所以e或e.故选AC.2已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为()A2B CD2Da(ab)，a(ab)0，即a2ab.又a(2,1,3)，b(1,2,1)，ab2237，|a|.147，2.故选D.3已知a(1,0,1)，b(x,1,2)，且ab3，则向量a与b的夹角为()AB CDDa(1,0,1)，b(x,1,2)，abx23.x1.|a|，|b|.cosa，b.又a，b0，故a，b.故选D.4对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有623，则()AO，A，B，C四点共面BP，A，B，C四点共面CO，P，B，C四点共面DO，P，A，B，C五点共面B由623，得2()3()，即23，故，共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面，故选B.5.如图所示，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设a，b，c，用a，b，c表示，则()A.(abc)B.(abc)C.(abc)D.(abc)B()()(abc)6A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，M为BC中点，则AMD是()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定CM为BC中点，()，()0.AMAD，AMD为直角三角形二、填空题7在空间直角坐标系中，A(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR)，若A，B，C，D四点共面，则2xyz_.1A(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR)，(0,1，1)，(2,2,2)，(x1，y1，z2)A，B，C，D四点共面，存在实数，使得，即(x1，y1，z2)(0,1，1)(2,2,2)，解得2xyz1.8在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为_如图建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则易得(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.9已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_0，0，ABAP，ADAP，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误三、解答题10.如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)取AB的中点N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，所以(2,4,0)，(2,4,0)，所以，所以DENC.又因为NC平面ABC，DE平面ABC，故DE平面ABC.(2)由(1)知(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.所以，即B1FEF，B1FAF，又因为AFFEF，所以B1F平面AEF.11.如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.证明(1)取BC的中点O，连接PO，因为平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC，所以PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示不妨设CD1，则ABBC2，PO，所以A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)，所以(2，1,0)，(1，2，)因为(2)1(1)(2)0()0，所以，所以PABD.(2)取PA的中点M，连接DM，则M.因为，(1,0，)，所以100()0，所以，即DMPB.因为10(2)()0，所以，即DMPA.又因为PAPBP，PA，PB平面PAB，所以DM平面PAB.因为DM平面PAD，所以平面PAD平面PAB.1(2020潍坊期末)如图所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知ABAA1AD，BADDAA160，BAA130，N为A1D1上一点，且A1NA1D1.(1)若BDAN，则的值为_；(2)若M为棱DD1的中点，BM平面AB1N，则的值为_(1)1(2)(1)取空间中一组基底：a，b，c，因为BDAN，所以0.因为ba，cb，所以(ba)(cb)0，所以0，所以1.(2)在AD上取一点M1使得A1NAM1，连接M1N，M1M，M1B，因为A1NAM1且A1NAM1，所以四边形AA1NM1为平行四边形，又AA1綊BB1，所以M1N綊B1B，所以四边形NM1BB1为平行四边形，所以NB1M1B，NB1M1B，又因为M1B平面AB1N，NB1平面AB1N，所以M1B平面AB1N，又因为BM平面AB1N，且BMM1BB，所以平面M1MB平面AB1N，所以MM1平面AB1N.又因为 平面AA1D1D平面AB1NAN，且MM1平面AA1D1D，所以M1MAN，所以AA1NMDM1，所以2，所以.2如图所示，在平行四边形ABCD中，ABACCD1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则BD的长为_2或AB与CD成60角，60或120.又ABACCD1，ACCD，ACAB，|，|2或.BD的长为2或.3.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC，若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由解(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则ACBD.连接SO，由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图设底面边长为a，则高SOa，于是S，D，B，C，则0.故OCSD.从而ACSD.(2)棱SC上存在一点E，使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t，则t，而0t.即当SEEC21时，BEDS.而BE平面PAC，故BE平面PAC.8