文科数学-2月大数据精选模拟卷01（新课标Ⅱ卷）（解析Word版）

2月大数据精选模拟卷01（新课标卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，则（ ）ABCD【答案】C【详解】因为，所以.2在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）ABCD【答案】B【详解】由题意，所以对应的点的坐标为.3如图，根据已知的散点图，得到y关于x的线性回归方程为，则（ ）A1.5B1.8C2D1.6【答案】D【详解】因为，所以，解得4过点且互相垂直的两直线与圆分别相交于A，B和C，D，若，则等于（ ）A2B4CD【答案】D【详解】，圆心到直线和的距离相等，当直线的斜率不存在时，圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，不成立，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，圆心到直线的距离，直线的斜率为，圆心到直线的距离，解得：或，圆心到直线的距离，则.5已知角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，终边上一点的坐标为，且为锐角，则（ ）ABCD【答案】B【详解】因为，所以点在单位圆上，所以，又为锐角，所以为锐角，结合二倍角公式可得，6如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（ ）A该四面体外接球的体积为B该四面体内切球的体积为C该四面体外接球的表面积为D该四面体内切球的表面积为【答案】D【详解】由三视图得几何体为下图中的三棱锥，平面,由题得.设外接球的球心为外接球的半径为，则平面, 连接,取中点,连接.由题得,所以,所以外接球的体积为，所以选项A错误；所以外接球的表面积为，所以选项C错误；由题得，所以的高为，设内切球的半径为，则所以，所以内切球的体积为，所以选项B错误；所以内切球的表面积为，所以选项D正确.故选：D7如图所示，已知为的内角所对的边，且，为的中点，则的最大值为（ ）ABCD【答案】D【详解】，根据余弦定理知，又，得，故，由，当且仅当b=c等号成立，得，故选：D.8已知函数，则（ ）A的最大值为1B的图象关于直线对称C的最小正周期为D在区间上只有1个零点【答案】B【详解】故最大值为2，A错，故关于对称，B对最小正周期为，C错解得，和都是零点，故D错.9执行下图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）A5B6C4D3【答案】A【详解】依次执行如下：，；，；，；，满足条件，退出循环体，输出，10已知抛物线，过点作C的两条切线，切点分别为B、D，则过点A、B、D的圆截y轴所得弦长为（ ）ABCD【答案】A【详解】设过点的直线方程为，联立，可得，由，解得即，不妨设，则的中垂线方程为，即圆心在轴上又，且点到点A、B、D的距离都相等，则圆心坐标为，半径为圆的方程为，令，解得即圆被y轴所截得的弦长为11已知函数.若函数有三个零点，则（ ）A，B，C，D，【答案】B【详解】解：因为所以要使函数有三个零点，则必定有两个正实数根，即，所以解得，此时，令，解得或，即函数在和上单调递增，令，解得或，即函数在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值；因为当时，；当时，要使函数函数有三个零点，则，即且因为，所以，所以，所以，又，所以12已知为等边三角形，设点，满足，与交于点，则（ ）ABC1D2【答案】D【详解】因为，所以，所以，所以为的一个靠近的三等分点，又因为，所以为的中点，过作交于点，如下图所示：因为且，所以，所以，所以，所以，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在点处的切线方程为_.【答案】【详解】，切线的斜率为则切线方程为，即14已知“”，“”，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_.【答案】【详解】对于命题p：由可解得，对于命题q：由可解得，p是q的充分不必要条件，解得.15已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，则四棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【详解】如图所示：平面，平面，则有，解得，又，构造正三棱柱，其上下底面边长为2，高为2，则其外接球的球心是上下中心连线的中点，设外接球半径，则，所以外接球的表面积为.16已知函数，给出下列命题：存在实数，使得函数为奇函数；对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称；若对任意非零实数，都成立，则实数的取值范围为；存在实数，使得函数对任意非零实数均存在6个零点.其中的真命题是_.（写出所有真命题的序号）【答案】【详解】由题意，令，函数的定义域为，则，所以函数为偶函数.对于，若，则 ，则，此时函数不是奇函数；若，则函数的定义域为且，显然.综上所述，对任意的，函数都不是奇函数；对于，所以，函数关于直线对称.因此，对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称，所以正确；对于，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立，所以，因为，当时，两个等号可以同时成立，所以.因此，实数的取值范围是，正确；对于，假设存在实数，使得直线与函数的图象有6个交点，若，当时， ，此时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，当时，；当时，任取，且，即，则 ，因为，随着的增大而增大，当且时，当且时，所以，使得当时，则，所以，函数在区间上单调递减；当时，则，所以，函数在区间上单调递增，所以，当时，.若存在实数，使得函数对任意非零实数均存在6个零点，即直线与函数的图象有6个交点，由于函数的图象关于直线对称，则直线与函数在直线右侧的图象有3个交点，所以，.由于为定值，当且当逐渐增大时，也在逐渐增大，所以不可能恒成立，所以当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数 均存在6个零点；同理可知，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在6个零点，故命题错误.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知各项均为正数的等差数列中，成等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为.因为，成等比数列，所以，即，整理可得或，而，且，所以，解得，所以，即数列的通项公式；（2）由（1）可得，所以.18随着经济水平的提高，智能家居已成为生活中的热点，应用于寻常百姓家中的比例逐年上升.智能家居与传统家居的最大区别在于用电器的开关控制，由过去的人工控制变成智能终端控制.某生活家居馆新推出一套智能家居产品，为了占领市场，举行为期六周的“感恩有你，钜惠给你”低价风暴活动，到第五周末该生活家居馆对前五周销售情况进行统计，得到统计表格如下（表示第周确定订购的数量），且通过散点图发现与具有线性相关关系.1234559121623（1）请用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）预测第六周订购智能家居产品的数量能否超过28.参考公式：，.【详解】（1）依题意：，所以，所以，故所求回归直线方程为.（2）将，代入中，得，故预测第六周订购智能家居产品的数量为26，不会超过28.19已知正方体，棱长为2，为棱的中点，为面对角线的中点，如下图.（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面.【详解】解：（1）在正方体中，易知.（2）证明：取的中点分别为，连接，.因为，分别为，的中点，所以,又是正方体，所以平面所以平面，因为平面所以.因为，所以，所以，所以，所以.因为，所以平面，因为平面，所以.连接，在正方体中，易知，所以.又，所以.又，平面，所以平面.20已知椭圆：的左顶点、右焦点分别为，点在椭圆上，且椭圆离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，直线，斜率分别为，证明：为定值.【详解】（1）由题意可得，解得，.所以椭圆的方程为.（2）证明：由（1）可知，则直线的方程为.联立，得.设，则，所以，所以（定值）.21已知函数，其中为常数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数在区间上只有一个零点，求的取值范围.【详解】（1）当时，对函数求导可得，所以，又，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）由（1）知，因为，所以，所以，所以，所以，故函数在区间上单调递增.因为函数在区间上只有一个零点，结合零点存在定理可得，解得，即的取值范围是.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系 中，曲线C的参数方程（为参数）为参数在变换的作用下曲线C变换为曲线.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设曲线的对称中心为P，直线l与曲线的交点为A，B，求的面积.【详解】解：（1）曲线C的参数方程，（为参数）经过变换得，（为参数）消参得普通方程为.，即，将，代入即可得到直线l的直角坐标方程为.（2）由得圆心，则圆心到直线l的距离为，所以的面积为.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围.【详解】解：（1）当时，不等式为.所以或或解得或，综上所述，不等式的解集为或；（2），而，当且仅当时等号成立.即当x和a变化时，的最小值为2，因为不等式对任意实数x及a恒成立，.