模型隐形圆问题9大策略配套详解全梳理---6.14

隐形圆问题第一讲 “形”现“圆”形问题 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，ABBC2，点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点，且满足PAPB，则PC的取值范围是_ 分析 本题因为点P满足PAPB即APB90，根据直径所对的圆周角是直角，可知点P在以AB为直径的圆上运动，点P的运动轨迹是一个圆， 要求PC的取值范围，利用PC与圆心O三点共线时取得最值，即可解决可以发现，这里隐藏着一个圆，像这样的问题，我们称为“隐形圆”问题，本题利用初中的平面几何的知识即可解决变式1 在平面直角坐标系xOy中，直线l1的方程为ykx，直线l2的方程为x+ky-2k=0，若l1与l2的交点为P，定点，则PC的取值范围是_ 分析 可以发现直线l1与l2是互相垂直的，直线l1经过原点O（B），直线l2经过定点，P的轨迹是以AB为直径的圆（不含A点），于是本题就转换为上述问题，其平面几何背景即为上述问题变式2（2017年南京二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy20与直线l2： xky20相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线xy40的距离的最大值为_ 分析 直线l1过定点，直线l2过定点，AB ，P的轨迹是以AB为直径的圆（不含原点），其圆心为C(1，1)，到直线的距离为，点P到直线xy40的距离的最大值为圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解这类题目构思巧妙，综合性强,，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来 圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现策略一 由圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1（1）若圆(x2a)2(ya3)24上总存在两个点到原点距离为1，实数a范围是_ 【解】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交，从而有，解得（2）（2016年南京二模）已知圆O：x2y21，圆M：(xa)2(ya4)21若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB60，则a范围为_ 【解】由题意得，所以P在以O为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆M有公共点，因此有（3）（2017年苏北四市一模）已知是圆上的动点，是圆上的动点，则范围是_ 【解】取AB的中点M，由，则C1M=，所以M在以C1圆心，半径为的圆上，且，转化为两圆上动点距离最值，PMmin C1C2151 ，PMmaxC1C2151，所以的取值范围是（4）若对任意aR，直线l：xcosaysina2sin(a)4与圆C：(xm)2(ym)21均无公共点，则实数m的取值范围是_ 【解】直线l的方程为：(x-1)cosa(y-)sina4，M(1,)到l距离为4，所以l是以M为圆心半径为4的定圆的切线系，转化为圆C内含于圆M，所以MC3因为M(m,m)，C(1,)，所以得到 ，解得注：直线l：(x-x0)cosa(y-y0)sinaR为圆M：的切线系（5）（2016年南通三模）在平面直角坐标系中，圆，圆，若圆上存在点满足：过点向圆作两条切线PA、PB，切点为A、B，的面积为1，则正数的取值范围是_【解】设P(x，y)， PA，PB的夹角为ABP的面积S=由，解得，所以，所以点P在圆上所以，解得策略二 由动点P对两定点A、B张角是（，或0）确定隐形圆例2 （1）（2014年北京卷）已知圆C：和两点，若圆上存在点P，使得APB=90，则m的取值范围是_ 【解】由可知，若点P存在，则点P在以AB为直径的圆O上，其半径为m，所以圆O与圆C有公共点，从而则m的取值范围是 （2）（海安2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1，0)， Q(2，1)，直线l：其中实数a，b，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H，则线段 QH 的取值范围是_ 【解】直线l过定点R（1，-2），H在以PR为直径的圆上，其圆的半径为PR，设PR的中点为M（0，-1），则MQ2， 所以QHmin2，QHmax23，则线段 QH 的取值范围是（3）（通州区2017届高三下开学初检测）设，直线：与直线 ：交于点，则的取值范围是_【解】由，可知其表示到定点B(-1，0)的距离的平方减1因为l 1过定点O(0，0)，l2过定点A(2，-4)，且l1 l2，则P在以OA为直径的圆上，但是由于直线l1不能表示斜率为0的直线，直线l2不能表示斜率不存在的直线，所以要除去一点(2，0)而上述圆的圆心为C(1，-2)，半径为， 由BC， PBminBC ， PBmaxBC即策略三 由圆周角的性质确定隐形圆例3（1）已知分别为的三个内角的对边，(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC则面积的最大值为_【解】原式即为，由余弦定理得cosA，所以A60，再由正弦定理，得外接圆的半径为，设的外接圆的圆心为O，则O到BC的距离为，则边BC上的高h的最大值为+=，则面积的最大值为（2）（2017年常州一模）在ABC中，C45o，O是ABC的外心，若(m，nR)，则mn的取值范围是_ 【解】由圆周角的性质，AOB2C90，点C在以O为圆心，半径OA的圆上（在优弧AB上）不妨以O为圆心，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设，由得到，所以mn，结合，得到，故mn的取值范围是当圆周角是直角时，即为策略二情形策略四 由四点共圆的定理来确定隐形圆（如一个四边形对角互补，则该四边形四点共圆）例4（2011年全国卷2）设向量a，b，c满足|a|b|1，ab，若ac与bc的夹角为60，则|c|的最大值等于 2 【解】设向量a，b，c的起点为O，终点分别为A，B，C，由已知条件得，AOB120，ACB60，则点C在AOB的外接圆上，当OC经过圆心时，|c|最大，在AOB中，求得AB，由正弦定理得AOB外接圆的直径是2，的最大值是2【同步练习】1点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB2，若点A从(，0)移动到(，0)，则AB中点D经过的路程为 2已知O为坐标原点，向量，,，则与夹角的范围为 3已知直线上存在点M满足与两点,连线的斜率之积为，则实数m的取值范围是 4已知圆C：x2y21，点P(x0，y0)在直线xy20上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使得OPQ30，则x0的取值范围是_0,25如图，已知点A(1,0)与点B(1,0)，C是圆x2y21上的动点(与点A,B不重合)，连接BC并延长至D，使得|CD|BC|，则线段PD的取值范围 第二讲 “数”现“圆”形解析几何中，找“隐形圆”的另一个角度可以从“数”的角度（求出其方程）来发现策略五 直接由圆（半圆）的方程确定隐形圆例1 （1）(2016年泰州一模)已知实数a，b，c满足，则的取值范围为_【解】方法一 令，则原题转化为实数x、y满足，求的取值范围，归结为以原点为圆心的单位圆上的动点M与定点的斜率的取值范围方法二 令，原题转化为求的取值范围，而动点在以原点为圆心的单位圆上，以下同方法一y（2）若方程3xb有解，则b的取值范围是 Ox例1(2)【解】令y3，其方程可化简为(x2)2(y3)24 (1y3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆当直线l：yxb与此半圆相切时，满足圆心(2,3)到直线yxb距离等于2，解得b12或b12，因为是下半圆，故可得b12当直线过(0,3)时，解得b3，故12b3（3）已知实数x、y满足，则x+y的最大值是_【解】设，则,，代入原式并整理，得因此动点的轨迹是圆位于第一象限的一段圆弧（含与x轴、y轴的正半轴的交点），此圆的圆心为，半径为，而x+y，所以（x+y）max另法：（基本不等式）原式化为，平方后为即，解得x+y4（当且仅当时取“”）策略六 直接由圆（半圆）的参数方程确定隐形圆例2（1） 已知，则的取值范围是_ 【解】 点在以原点为圆心的单位圆上，在直线上，转化为圆上的动点与直线上的动点的距离的平方的取值范围，圆心到直线的距离为，所以，圆上的动点与直线上的动点的距离的最小值为，其平方为 （2）（2008年重庆高考）函数f(x)=() 的值域是_【解】f(x) 当sinx1时，f(x)0；当-1sinx1时，f(x) 其中的几何意义为以原点为圆心的单位圆上的动点与定点构成直线的斜率，则，所以得到-1f(x) 0策略七 由两定点A、B，动点P满足（是常数）,求出动点P的轨迹方程确定隐形圆例3 已知圆和两点若圆C上存在点P，使得，则m的取值范围是_【解】设点，满足，得，这是一个圆的方程，从而转化为两圆有公共点，得，解得m的取值范围是注 若，则点P在以AB为直径的圆上变式1 （2017年南通密卷3）已知点，点P在直线上，若满足等式的点P有两个，则实数的取值范围是_【解】设P(x，y)，则，根据，有.由题意圆：与直线相交，圆心到直线