高等数学考点

高等数学考点1 数学 1.1 空间解析几何1.1.1向量的线性运算1、向量的概念定义:既有大小又有方向的量称为向量,向量的模:向量的长度(大小)单位向量:模为1的向量 零向量:模为0的向量,方向不固定 相等向量:大小相等,方向相同负向量:大小相同,方向相反2、向量的表示法（1）向量的分解式：向量在三个坐标轴上的分向量：x，y，z（2）向量的坐标表示：，其中，为向量在xyz轴上的投影3、向量的线性运算，则1.1.2向量的数量积、向量积及混合积；1、向量的数量积两向量夹角的坐标余弦：2、向量积3、混合积1.1.3两向量垂直、平行的条件；1.1.4直线方程、平面方程平面与平面、直线与直线、平面与直线之间的位置关系,点到平面、直线的距离；对于（A2+B2+C20），其特殊情形如下：当D=0时，当A=0时，同理当B=0时， 当C=0时， ，其他同理1.1.5球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程；1、旋转曲面设有平面曲线L：曲线L绕x轴旋转所成的旋转曲面方程为：曲线L绕y轴旋转所成的旋转曲面方程为：列：求坐标面XOZ上的双曲面分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程？解：绕x轴旋转所成的旋转曲面方程为： 绕z轴旋转所成的旋转曲面方程为： 2、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线所形成的曲面!这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线!如图所示从柱面方程看柱面的特征：只含x，y而缺z的方程，在空间视角坐标中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为Xoy面上曲线C!例如：表示抛物柱面，母线平行于z轴，准线为xoy面上的抛物线；1.1.6常用的二次曲面方程椭圆锥面：椭圆面：，椭圆抛物面：，双曲抛物面（鞍型曲面）：，单叶双曲面：，双叶双曲面，1.1.7空间曲线在坐标面上的投影曲线方程!1、空间直线的方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程为：，其图示为：已知直线上一点 也称为点向式方程，说明：某些分母为零时，其分子也理解为零，列如，当n=0，m0，p0时，直线方程为：参数式方程设例：已知平面过点（0,0,1）（0,1,1）（1,1,0），则与该平面垂直且过点（1,1,1）的直线的对称方程为： 解：平面的法向量，所求直线的方向向量为i+k，故应选（B）（1）空间曲线的方程空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组：（2）空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为，消去z得投影柱面H（x，y）=0，则C在xoy面上的投影曲线为 例：空间曲线 y解：消去方程组中的变量z得到，这是所给曲线关于xoy面的投影柱面的方程，曲线在xoy平面的投影方程应是答案D1.2 微分学1.2.1函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 1函数的单调性设函数f（x）在区间I上有定义，若对于任意x1，x2I，当x1<x2时都有f（x1）< f（x2）或f（x1）> f（x2）成立，则称函数在区间I上单调增加或单调减少!2函数的有界性设函数f（x）在区间I上有定义，若存在正数M，使得对任何xI，都有f（x）M成立，则称函数f（x）在区间I上有界，若这样的M不存在，则函数f（x）在区间I上无界!3函数的周期性设函数f（x）的定义域R为（-，+），若存在常数T0，使得对于任何xR，都有f（x+T）=f（x）成立，则称f（x）为周期函数，称满足上式的最小正数T为函数的周期!4函数的奇偶性设函数f（x）的定义域D是关于原点对称的，若xD，-xD，若对于任何xD，有f（-x）=f（x）成立，则称f（x）为偶函数，若对上述x有f（-x）=- f（x）则称f（x）为奇函数!1.2.2数列极限与函数极限的定义及其性质，其中=f（x）-A为xx0的无穷小!1.2.3无穷小和无穷大的概念及其关系1 2无穷小量运算性质：有限个无穷小的和也是无穷小!有界函数与无穷小的乘积是无穷小!常数与无穷小的乘积是无穷小!有限个无穷小的乘积也是无穷小!3无穷小的比较（1）4常用的等价无穷小有：1.2.4无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算有限个无穷小的和也是无穷小!有界函数与无穷小的乘积是无穷小!常数与无穷小的乘积是无穷小!有限个无穷小的乘积也是无穷小!常用的求极限方法：（1）利用极限与左右极限的关系，求分段函数在分界点处得极限!（2）利用四则运算法则；（3）利用极限存在准则：夹逼定律、单调有界数列必有极限；（4）利用等价无穷小代替；（5）利用无穷大量与无穷小量的关系；（6）利用两个重要极限：（7）利用公式 （8）利用变量替换（9）利用初等函数的连续性（10）利用罗比达法则求未定型的极限1.2.5函数连续的概念连续函数的定义1.2.6函数间断点及其类型1.2.7导数与微分的概念1.2.8导数的几何意义和物理意义导数的几何意义为切线的斜率，物理意义为加速度!1.2.9平面曲线的切线和法线1.2.10导数和微分的四则运算导数的求法：1、利用导数的定义求导2、利用基本导数公式表和导数的四则运算法求导3、利用符合函数的求导法则求导 4、反函数求导法5、参数方程求导法6、隐函数求导法7、取对数求导法 求幂指函数或某些含有复杂的乘除乘方开方运算函数的导数时，可以采用先求对数后求导的方法进行!8、求函数的高阶导数求函数的n阶导数，可以利用求一阶导数的法则逐次地往下求导即可但在计算过程中，要注意分析归纳，找出规律，写出n阶导数的表达式!9、参数方程的二阶导数10、隐函数的二阶导数若F（x，y）=0，求出一阶导数后，在求二阶导数时，把式中的y作为中间变量来求导，带入y,整理后得到y”!1.2.11高阶导数1.2.12微分中值定理1、罗尔定理 2、拉格朗日中值定理 3、柯西中值定理 1.2.13洛必达法则满足以上条件的两个函数比的极限等于两个函数导数比的极限，在利用罗比达法则时，三个条件中有一条不满足就不能应用，对于未定式可化为0/0,/型进行极限计算!在利用罗必塔法则计算未定式的极限时，前面学过的计算极限的方法任实用，列等价无穷小贴换，两个重要极限等!1.2.14函数的切线及法平面和切平面及切法线利用函数的一阶导数即可求出斜率，利用斜率即可求出切线及切平面方程!1.2.15函数单调性的判别1.2.16函数的极值极值存在的必要条件：设f(x0)存在，且x0为f（x）的极值点，则f(x0)=0，但逆命题不成立!导数为零的点称为函数的驻点!驻点以及连续但导数不存在的点成为函数的可疑极值点!极值存在的第一充分条件：设f(x)在x0的某一领域内连续，且可导，若x<x0时，f(x0)>0，或者f(x0)<0，；若x>x0时，f(x0)<0，或者f(x0)>0，则函数f（x）在x0取得极大值或极小值!对于连续但导数不存在的点的极值，同样要通过判定在改点两侧的导数符号来确定!极值存在的第二充分条件：设f（x）具有二阶导数，且在x0点f(x0)=0，若f”(x0)<0时，f（x）取得极大值，若若f”(x0)>0时，f（x）在x0取得极小值!1.2.17函数曲线的凹凸性、拐点1.2.18偏导数与全微分的概念1.2.19二阶偏导数1.2.20多元函数的极值和条件极值1.2.21多元函数的最大、最小值及其简单应用!1.3 积分学1.3.1原函数与不定积分的概念1、原函数定义定义在某区间I上的函数f（x），若存在函数F（x），使得该区间上的一切x，均有F(x)=f（x）或者dF（x）=f（x）dx，则称F（x）为f（x）在区间I上的原函数!若函数f（x）存在两个原函数，那么他们只相差一个常数!由于常数的导数为零，所以函数f（x）如果有原函数，则就有无穷多个原函数，可表示未F（x）+C2、不定积分函数f（x）得全体原函数称为f（x）的不定积分，记作1.3.2不定积分的基本性质1.3.3基本积分公式1.3.4定积分的基本概念和性质（包括定积分中值定理）定积分的引入是应实际的需要而产生的，如数学中计算曲边梯形的面积，物理中计算变速直线运动的物体在时间内所经过的路程等!1、定积分的几何意义和物理意义物理意义是：可以表示不同的物理量，如变速直线运动所走过的路程，变力所做的功!定积分中值定理：如果函数f（x）在闭区间a,b上连续，则在积分区间上至少存在一点使下虱成立1.3.5积分上限的函数及其导数 1.3.6牛顿-莱布尼兹公式若函数f(x)在a,b上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在a,b上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则1.3.7不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法（1）定积分的计算1、利用第一计算：即分割、取近视，求和，取极限的方法!2、利用牛顿-莱布尼茨公式计算!3、利用换元法计算 4、利用分部积分法计算定积分的换元法、分部积分法与不定积分采用的方法是一致的，只多了上下限!不定积分的换元法有第一、二类之分，并且有不同的公式，而定积分换元法只有一个计算式，从公式左往右推，就是第二类换元法，从公式右往左推就是第一类换元法!定积分分部积分中u与dv的取法与不定积分相同5、利用定积分的性质计算6、利用公式计算1.3.8有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分略1.3.9广义积分1、无穷限积分 2、无界函数积分1.3.10二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用1.3.11两类曲线积分的概念、性质和计算1.3.12求平面图形的面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积!1、平面图形的面积直角坐标方程：设曲边梯形由曲边y=f（x）f（x）0,x=a,x=b以及x轴围成，则A=参数方程：设曲边由参数方程给出，直线x=a,x=b以及x轴围成，则A=极坐标方程：设曲边方程为r=r（）以及射线=，=围成的图形，则A=2、体积旋转体的体积：设由y=f（x），x=a，x=b以及x轴围成的平面图形，绕x轴旋转一周而生成旋转体的体积，则3、平面曲线的弧长直角坐标方程：参数方程： 极坐标方程：，s=1.4 无穷级数1.4.1数项级数的敛散性概念1、常数项级数的概念 a 称为常数项无穷级数，简称常数项级数!An称为级数的通项（或一般项）b 常数项级数敛散性定义 称为级数的前n项和，简称部分和 2、常数项级数的性质 1.4.2收敛级数的和 称为级数的前n项和