浙江省等五校2021届高三下学期5月联考数学试题含答案

2020 学年第二学期五校联考试题 高三年级数学学科 命题： 绍兴一中 考生须知： 1本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准 考证号。 3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4考试结束后，只需上交答题卷。 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A，B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 1(0, 1, 2,)C， n k kk nn P kppkn 台体的体积公式 1122 1 3 Vh SS SS 其中 S1,S2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V= 1 3 Sh 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4R2 球的体积公式 3 4 3 VR 其中 R 表示球的半径 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知全集1,2,3,4,5U ，1,3A ，则ACU A1，2，3，4，5B2，4，5C1，3D 2.已知aR，复数 2 (32)(1)izaaa（i为虚数单位）是纯虚数，则复数 1 2z 的虚部是 A. 1 3 B. 1 5 C. 1 i 3 D. 1 i 5 3.若实数 x，y 满足约束条件 1 1 0 xy xy x ，则 z=2x+y 的最小值是 A.1B. 0C. 1D. 2 4.已知, a bR，则“ab”是“ ba 22 1 ”的 . A充分不必要条件.B必要不充分条件 .C充要条件.D既不充分也不必要条件 5. 函数 2 ln x f xx x 的图象大致是 ABCD 6已知实数 x,y 满足 22 44xy，则 xy 的最小值是 A2B3C2D1 7. 已知不全相等的实数, ,a b c成等比数列，则一定不 可能 是等差数列的为 A, , a c bB 222 ,a b cC| |,|,|abc D 1 1 1 , a b c 8.甲、乙、丙、丁、戊 5 个人分到 A,B,C 三个班，要求每班至少一人，则甲不在 A 班的分法种数有 A160B112C100D86 9.已知三棱锥ABCD的所有棱长均为 2，E为BD的中点，空间中的动点P满足PEPA ,ABPC ， 则动点P的轨迹长度为 A. 11 16 B. 3 8 C. 11 2 D.3 10.已知双曲线 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，P是双曲线C上的一点，且 22 (,0) 2 ab Q 满足 12 , 62 FPQF PQ ，则双曲线C的离心率为 A 10 2 B 13 2 C 2 10 5 D 43 5 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分，共 36 分。 11.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱的体积为_， 表 面积为_ 12.已知直线kxyl:与圆12: 2 2 yxC，若 3 1 k，直线l与圆相交 于 A， B 两点， 则|AB _， 若直线l与圆相切， 则实数k_ 13.已知 626 0126 ( +1)( +1)( +1)xaa xaxa x，则 2 a= _ ， 126 aaa= _. 14某同学在上学路上要经过二个红绿灯十字路口，已知他在第一个十字路口遇到红灯的概率为 1 2 . 若他在第一个十字路口遇到红灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为 1 3 ； 若他在第一个十字路口遇到绿灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为 2 3 . 记他在上学路上遇到红灯的次数为，则(0)P_ ，的数学期望为_. 15. 已知函数 ( )3sincos ,0, 3 f xxax x 的最小值为a， 则实数a所有取值组成的集合为_ 16. 设, a b 为单位向量，则|3 |abab 的最大值是_ 17. 已知0a， 设函数 2 (22 ) ,(02) ( ) ,(2) xa xxa f x axxa ， 存在 0 x满足 00) (xxff， 且 00) (xxf， 则a的取值范围是_ 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.（本题满分 14 分） 设常数Rk，已知( )cos22 3sin cosf xkxxx （I）若( )f x是奇函数，求k的值及( )f x的单调递增区间； （II）设1k ，ABC中，内角,A B C的对边分别为, ,a b c若( )1f A ，且ABC的面积Sabc， 求ABC周长的取值范围. 19.（本题满分 15 分） 如图，四边形ABCD中，满足 / /ABCD, 90ABC , 1,3,2ABBCCD , 将BAC沿AC翻折至PAC，使得2PD . ()求证：平面PAC 平面ACD； ()求直线CD与平面PAD所成角的正弦值. 20.（本题满分 15 分） 已知数列 , nn ab 中, 11 1,2ab, 1 1 2( 1)n nnn aab , 1 1 ( 1)n nnn bab , * Nn. （I）证明( 1)n nn ab 是等比数列，并求 n a的通项公式； （II）设 2 log nnn cab，求数列 n c 的前n2项和 n S2. 21.（本题满分 15 分） 如图，已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 与抛物线 2 2: 4Cyx共焦点 F,且椭圆的离心率为 1 2 ， （I）求椭圆 1 C的方程； （II）若点 P 在射线4(2)xy上运动，点 A,B 为椭圆 1 C上的两个动点，满足 AB/OP,且 Q 为 AB 的中点， 连接 PF 交抛物线 2 C于 G、 H 两点， 连接 OQ 交椭圆 1 C与 M、N 两点，求四边形 MGNH 面积的取值范围. 22.（本题满分 15 分） 已知 32 ( ),( , ,R) 6 x e f xaexbxcx a b c，（e为自然对数的底数，e2.71828）. （I）当0a 时，若函数( )f x与直线yex相切于点(1, ) e，求, b c的值； （II）当 1 a e 时，若对任意的正实数b，( )f x有且只有一个极值点，求负实数c的取值范围. 2020 学年第二学期五校联考参考答案 高三年级数学学科 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 BBCAADDCCD 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分，共 36 分。 11.1，5512. 5 152 ； 3 3 13.15， 1 14 1 ,1 6 15.3【填 3 不扣分】16. 8 3 3 17.1 2 1 a 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.解析： （I）由题意知，f（0）=k=0，得k=0,（2分） 下面对k=0进行检验： 若k=0，则，f（x）= 23sinxcosx=3sin2x 对任意xR都有()3sin( 2 )3sin2( )fxxxf x ， f（x）是奇函数，k=0（4分） 又因( )3sin2f xx，由222, 22 kxkkZ ，得, 44 kxkkZ ， f(x)的单调递增区间为, 44 kkkZ （7分） （II）当k=1时( )cos23sin22sin(2) 6 f xxxx ，（9分） (A)2sin(2)1 6 fA ；得 1 sin(2) 62 A A（0，）， 13 2(,) 666 A ， 3 A （11分） 由S=abc= 1 2 bcsinA，可知：2a=sinA，2c=sinC， 2b=sinB ABC的周长为a+b+c= 1 2 （sinA+sinB+sinC） = 1 2 sinB+sin（ 2 3 -B）+ 3 4 = 1 2 （sinB+ 3 2 cosB+ 1 2 sinB）+ 3 4 = 1 2 （ 3 2 sinB+ 3 2 cosB）+ 3 4 = 3 2 sin（B+ 6 ）+ 3 4 B（0， 2 3 ），B+ 6 （ 6 ， 5 6 ），sin（B+ 6 ）（ 1 2 ，1， ABC的周长的取值范围为（ 3 2 ， 3 3 4 （14分） 19.解析： ()证明：过B作ACBO,垂足为O,连,PO DO,则POAC, 作DEAC,垂足为E,则 113 3, 22 DEOEDO 所以 222 PODOPD，即POOD.（3 分） 又ACDOO,所以PO 平面ACD， （5 分） 又PO 平面PAC， 所以平面PAC 平面ACD；（7 分） ()以 O 为坐标原点，OC,BO 所在的直线为 , x y轴建立空间直角坐标系 则 1313 (,0,0),( ,0,0),( , 3,0), (0,0,), 2222 ACDP (1, 3,0)AD , 13 ( ,0,), 22 AP （10 分） 设平面PAD的法向量为 ),(cban ，则 13 0 22 30 . AP nac AD n ab 取法向量( 3, 1, 1)n ，（12 分） ( 1, 3,0)CD ，设直线CD与平面PAD所成角为， 则 15 sin|cos,| 5 CD n .（15 分） 法二、体积法 1331 4 3 422 P ACD V ， 1 11515 1 3 2212 C PAD Vhh ，得 2 15 5 h 所以 2 15 115 sin 525 h CD 20.解析：（I） 1 1 2( 1)n nnn aab , 1 1 ( 1)n nnn bab ， 1 11 2()3( 1)n nnnn abab ，（2 分） 1 1 1 ( 1)2( 1) nnn nn n abab ，且 11 ( 1)4ab 所以( 1)n nn ab 是等比数列.（4 分） 11 ( 1)4ab ， 1 ( 1)2 n n n n ab ，即 1 2( 1) nn nn ab 又 1 1 2( 1)n nnn aab ， 1 1 1 2( 1) nn n a ，又 1 1a 故2( 1)2 nnn nn ab ，（7 分） （II）因为2( 1) nn n cnn ，（9 分） 记 232 2 1 2223 222 n n Tn 则 23421 2 21 2223 222 n n Tn （11 分） 两式相减，得 21 2 (21)22 n n Tn （13 分） 所以 21 2 (21)22 n n Snn （15 分） 21： 解：（I）因为 2 4yx ，所以 1 2 p c ，又因为 1 2 c a ，所以2a ， 椭圆方程为 2 2 1 43 xy .（4 分） （II）设设(4, )(2)Pt t 4 ABOP t kk，由点差法可得 3 4 OQAB kk ，可得 3 = OQ k t （6 分） 将直线: OQ l 3 =yx t 与椭圆 22 1 43 xy 联列， 2 2 2 4 12 t x t ， 解得 2 22 2 949 |= 1+4 12 12 tt MN tt t （8 分） 将直线: PF l 3 =1xy t 与抛物线 2 4yx联列，得 2 12 40yy t ， 12 ,4 GHGH yyy y t ， 2 222 91444(9) |116 t GH ttt （10 分） 又因为1 OQFP kk ，所以 23 22 8 (9)1 | 2 12 t SMNGH tt 四边形MGNH （12 分） 令 2 4,)tm，则 3 2 (9) ( ) (12) m f m mm ， 2 42 3 (9) (572) ( )0 (12) m mm fm mm ，