向量代数与空间解析几何相关概念和例题

第六章 空间解析几何与向量代数- 62 - 空间解析几何与向量代数向量及其运算目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向.向量的表示方法有两种 、aAB向量的模：向量的大小叫做向量的模 向量 、 的模分别记为 、 aAB|a|AB单位向量： 模等于 1 的向量叫做单位向量 零向量： 模等于 0 的向量叫做零向量 记作 规定： 方向可以看作是任意的 0相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量（亦称共线向量）： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行记作 a / b规定： 零向量与任何向量都平行 二、向量运算向量的加法向量的加法 设有两个向量 a 与 b 平移向量使 b 的起点与 a 的终点重合 此时从 a的起点到 b 的终点的向量 c 称为向量 a 与 b 的和 记作 a+b 即 ca+b .当向量 a 与 b 不平行时 平移向量使 a 与 b 的起点重合 以 a、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量 a 与 b 的和 ab 向量的减法 设有两个向量 a 与 b 平移向量使 b 的起点与 a 的起点重合 此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 AOBA2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义 向量 a 与实数的乘积记作 a 规定 a 是一个向量 它的模| a|a| 它的方向当 >0时与 a 相同 当 = = =6.ba4102二、两向量的向量积向量积设向量 c、 a、b 满足：c 的模|c |a|b|sin 其中 为 a 与 b 间的夹角；c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定则称向量 c 是 a 与b 的向量积记作 ab即c ab向量积的运算律(1) 交换律 abba (2) 分配律(ab)c acbc(3) (a)ba(b)(ab) (为数) 向量积的坐标表示若 a ax i ay j az kb bx i by j bz k 则第六章 空间解析几何与向量代数- 66 - zyxba kjia= i j + k .zyzxyxba( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k例 3 设 a=(1,2,2), b=(2,1,0), 求 a b 及与 a、 b 都垂直的单位向量.解 a b = = i j + k012kji20211= 2i +4j +5k .所求的单位向量为 (2i +4j +5k)= (2i +4j +5k ).22)4(1例 4 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A (123)、B (345)、C (247)求三角形 ABC的面积解 根据向量积的定义可知三角形 ABC 的面积|21sin|21ACSABC由于 (222) (124)因此AB 4i6j2k12ji于是 )6(421|64|21kjiABCS例 5 设 a=(2, 3, 1), b=(0,1, 1), c=(1, 1, 4),三个向量是否共面?解 因为 r =a b 与 a、b 所确定的平面垂直,所以当 a、b、c 三个向量共面时, 应该有 rc ,即 r .c=0. r =a b= =(4, 2, 2) ,1032kji所以有r .c= (4i +2j +2k).( i j +4k)=42+8=10 0,第六章 空间解析几何与向量代数- 67 - 因此三个向量不共面.空间简单图形及其方程方程目的：掌握直线、平面、常见曲面的方程及其求法；会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。重点与难点：直线、平面方程及其求法。 过程：一、平面方程1、平面的点法式方程已知平面上一点 M0(x0 y0 z0)和它的一个法线向量 n(A B C) 则其方程为A(xx0)B(yy0)C(zz0)0例 1 求过点(2 3 0)且以 n(1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 得所求平面的方程为(x2)2(y3)3z0 即 x2y3z80 例 2 已知空间两点 M1(12，-1)、M 2(3-12)，求过 M1 点且与直线 M1 M2 垂直的平面方程。例 3 求过三点 M1(2 1 4)、M 2(1 3 2)和 M3(0 2 3)的平面的方程 解：我们可以用 作为平面的法线向量 n 2因为 )6,4 3(21)1,3 (1所以 kjijin9426312M根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为14(x2)9(y1)(z 4)0 即 14x9y z150 2、平面的一般方程由平面的点法式方程 A(xx0)B(yy0)C(zz0)0 知，任一平面都可用 x y z 的一次方程来表示。方程 AxByCzD0 称为平面的一般方程 其中 x y z 的系数就是该平面的一个法线向量 n 的坐标 即 n(A B C) 例如 方程 3x4yz90 表示一个平面 n(3 4 1)是这平面的一个法线向量 例 4 求通过 x 轴和点(4 3 1)的平面的方程 解 平面通过 x 轴 一方面表明它的法线向量垂直于 x 轴 即 A0 另一方面表明它必通过原点 即 D0 因此可设这平面的方程为ByCz0 又因为这平面通过点(4 3 1) 所以有3BC0 第六章 空间解析几何与向量代数- 68 - 将其代入所设方程并除以 B (B0) 便得所求的平面方程为y3z0 二、两平面的位置关系两平面的位置关系不外是相交、垂直、平行与重合，利用两平面法向量位置关系就可判定两平面的法线向量分别为 n1(A1 B1 C1)和 n2(A2 B2 C2)由于 221221 |) ,cos(| C是两平面夹角，则有A1 A2 B1B2 C1C20 充要条件为平面垂直 则平面重合或平行2121CBA例 5 求两平面 xy2z60 和 2xyz50 的夹角 解 n1(A1 B1 C1)(1 1 2) n2(A2 B2 C2)(2 1 1) 212|cos 21)(|2所以 所求夹角为 3例 6 一平面通过两点 M1(1 1 1)和 M2(0 1 1)且垂直于平面 xyz0 求它的方程 解 1由 M1 到点 M2 的向量为 n1(1 0 2) 平面 xyz0 的法线向量为 n2(1 1 1) 设所求平面的法线向量为 n(A B C) 则有 nn1 即 A2C0 A2C 又因为所求平面垂直于平面 xyz0 所以 nn1 即 ABC0 BC 所求平面为 2C(x1)C(y1)C(z1)0 即 2xyz0 解 2 从点 M1 到点 M2 的向量为 n1(1 0 2) 平面 xyz0 的法线向量为 n2(1 1 1)设所求平面的法线向量 n可取为 n1 n2 因为 kjijin 102所以所求平面方程为 2xyz0 三 直线的方程直线是两平面的交线，即直线的一般式方程：02211DzCyBxA直线上一点 M0(x0, y0, z0)和方向向量 s=m, n, p，直线的对称式方程：00-例 7 将直线 表为对称式4321zyx解 取 x0=1，代入方程组得 y0=0、z 0= -2，即点(1,0,-2) 在直线上。第六章 空间解析几何与向量代数- 69 - 两平面的法向量分别为 n1=1,1,1和 n2=2,-1,3，则 s= n1×n2= =4ij3k，1ji所求对称式方程为： 314zyx设直线 l1 和 l2 的方向向量为 a=x1, y1, z1、b= x2, y2, z2，则=|cos(a,b )|= 。cos21221四 几个曲面方程例 8 方程 x2y2z22x4y0 表示怎样的曲面？解 通过配方 原方程可以改写成(x1)2(y2)2z25 这是一个球面方程 球心在点 M0(1 2 0)、半径为 5R一般地 设有三元二次方程Ax2Ay2Az2DxEyFzG0 这个方程的特点是缺 xy yz zx 各项 而且平方项系数相同 只要将方程经过配方就可以化成方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2 的形式 它的图形就是一个球面 例 9 方程 x2y2R2 表示怎样的曲面？ 解 方程 x2y2R2 在 xOy 面上表示圆心在原点 O、半径为 R 的圆 在空间直角坐标系中 这方程不含竖坐标 z 即不论空间点的竖坐标 z 怎样 只要它的横坐标 x 和纵坐标 y 能满足这方程 那么这些点就在这曲面上 也就是说 过 xOy 面上的圆 x2y2R2 且平行于 z轴的直线一定在 x2y2R2 表示的曲面上 所以这个曲面可以看成是由平行于 z 轴的直线 l 沿 xOy 面上的圆 x2y2R2 移动而形成的 这曲面叫做圆柱面 xOy 面上的圆 x2y2R2 叫做它的准线 这平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线 柱面平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面 定曲线 C 叫做柱面的准线 动直线 L 叫做柱面的母线 上面我们看到 不含 z 的方程 x2y2R2 在空间直角坐标系中表示圆柱面 它的母线平行于 z 轴 它的准线是 xOy 面上的圆 x2y2R2 一般地 只含 x、y 而缺 z 的方程 F(x y)0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面 其准线是 xOy 面上的曲线 C F(x y)0 例如 方程 y22x 表示母线平行于 z 轴的柱面 它的准线是 xOy 面上的抛物线 y22x 该柱面叫做抛物柱面 又如 方程 xy0 表示母线平行于 z 轴的柱面 其准线是 xOy 面的直线 xy0 所以它是过 z 轴的平面 类似地 只含 x、z 而缺 y 的方程 G(x z)0 和只含 y、z 而缺 x 的方程 H(y z)0 分别表示母线平行于 y 轴和 x 轴的柱面 例如 方程 xz0 表示母线平行于 y 轴的柱面 其准线是