小升初数学思维训练教程 326页

本资料由多多文库整理制作 微信公众号：duoduowenku数学思维训练教程小升初系统总复习目 录目 录3第1讲 计算（一） 速算与巧算4第2讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算20第3讲 数字谜、数阵图、幻方35第4讲 数论（一） 整除、奇偶性、极值问题53第5讲 数论（二） 约数倍数、质数合数、分解质因数66第6讲 数论（三） 带余除法、同余性质、中国剩余定理79第7讲 几何（一） 平面图形92第8讲 几何（二） 曲线图形116第9讲 几何（三） 立体图形130第10讲 典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题142第11讲 典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题151第12讲 牛吃草问题161第13讲 行程（一） 相遇追及（多次）、电车问题170第14讲 行程（二） 平均速度、变速度、流水、电梯188第15讲 行程（三） 行程中的比例201第16讲 分数与百分数218第17讲 工程问题229第18讲 浓度与经济问题247第19讲 方程257第20讲 排列组合270第21讲 容斥原理283第22讲 抽屉原理297第23讲 逻辑推理305第24讲 统筹与策略324第1讲 计算（一） 速算与巧算一、知识地图速算与巧算 整数计算 基本公式平方、立方公式 数列及特殊公式特殊方法分数计算 拆分与裂项几个常用拆分分数循环小数化分数二、基础知识（一）整数计算1、基本公式（1） 加法交换律：（2） 加法结合律：（3） 减法的性质：（4） 乘法交换律：（5） 乘法结合律：（6） 乘法分配律：（7） 除法的性质：2、平方、立方公式（1） 完全平方公式：（2） 平方差公式：仅做了解（3） 完全立方公式：（4） 立方和公式：（5） 立方差公式：3、数列及特殊公式（1） 等差数列：A) 通项公式：为什么要“n-1”呢？B) 求项数公式：为什么要“+1”呢？C) 求和公式：为什么要“2”呢？关于这个等差数列，同学们可以联系植树问题的数量关系来看，怎么把植树问题与等差数列联系在一起呢？“在数轴上植树”，这可是带有一定的技术含量的如图：请体会这里数字与“树”对应、公差与“株距间隔”对应。例如： a) 22这个数是“第七棵树”，要由“第一棵树”加上六个“间隔”得到，算式为： 22=4+（7-1）3；b) 如果要求这个数列从4到25，一共有多少个数，相当于把4看作第一棵树，问25是第几棵树？可以思考，从4到25一共有多少个“间隔”，（25-4）3=7，所以应该是“第8棵树”，这里注意到了为什么求项数“加1”了吧？c) 求和公式的来龙去脉，同学们不可不知：法一：高斯“配对法”。例如，在计算1+2+3+8+9这一串数列的和时，我们可以把第一个数加上最后一个数，第二个数加上倒数第二个数，这样，一直到第四个数加上倒数第四个数，每一对数的和都是10，这里，要注意还有一个“中间数”5，没有配上对，所以，这组数列9个数的和是104+5=45。法二：借来还去法。例如，还是计算1+2+3+8+9这一串数列吧，如果我再“借”来一串“9+8+7+3+2+1”， 这么一串数只是把原来的数列颠倒一下顺序，可以知道两串数是相等的。所以，如果我把这两串数的和求出来，是一定要“除以2”的！问题在于，本来要求一串数的和，干嘛我还扯上了另一串，这样做好算吗？答案正在这个地方，就是因为再有这么一串倒过来的数，好算不得了“变异为同”了！如图： 所以，可以得出，1092=45 回头再看，这里的10可以用（1+9）为代表，则得： （1+9）92=45 再推广开去，对于其他等差数列，都有这么一个公式： 和=（首项+末项）项数2（2） 等比数列：（3）a)b)（4）（5）（n9） （6）（7）这一类的数不妨称之为“重码数”，关键于把一个循环节的“个位”的“1”作为记数单位，结合位值原则，我们可以得到上述结果。4、特殊方法（1） 凑整法：利用运算公式和运算律（如交换律、结合律、分配律）将一些数凑成整一或整十整百再计算。（2） 换元法：将一些数或一个式子记为某个字母，如a，b，c 达到化繁为简的目的。（二）分数计算1、拆分与裂项（1）（2） （3）（4） 2、几个常用拆分分数 3、循环小数化分数 请聪明的你，来比较1与0.99999999的大小？你可能已经知道：0.9999999=1也就是：=1，可是这是为什么呢？铺垫： = = = = = 以此题为例推导：设 为A，那么100A=10000A=所以：10000A-100A=1234-129900A=1234-12注意：循环小数化分数，分母中9的个数与其循环节的位数对应，0的个数与小数点后不循环的位数对应。分子是不循环部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差。三：经典透析【例1】：（） 审题要点：1） 看题目中的数，聪明的你是否发现了什么秘密？对了，每一个数都有一个小秘密： 2） 发现了秘密就赶紧动手吧！详解过程： 专家点评：<恍然大悟>原来平方差公式还可以这么用！ 这道题目不是很难，关键是要学会“凑整”的思路！【例2】（） 审题要点：1） 好大的数啊！别怕，肯定有绝招。2） 哈哈，终于发现了数之间的小秘密。 详解过程：专家点评： 做这道题目，你会发现，奥数的很多题目，不仅仅是记公式就能解决的，很多时候需要你对公式进行消化吸收，达到灵活应用才能在用时得心应手。【例3】（） <友情提示>；凑整；提取公因数；“借来还去”思想。审题要点：1） 这题看着很熟悉联想平方求和公式2） 可是起始的数不是？没关系，缺什么补什么！详解过程：<友情提示>提取公因数的两大特征： 一是要有“公因数”，“疑似”公因数也不错，我们可以借助下面两招对它加工。 二是要有互补数。专家点评：很多题目不能就题论题，你必须要在熟练应用公式的前提下，做适当的变换，这道题目就是一个很好的例子。【例4】（） 审题要点：1）“73”好像是关键。2）如果可以提取73，那不是很简单？试试吧！详解过程： 专家点评：此处利用了分拆法，将730分拆为7310，153.3分拆为732.1，目的都是为了构造出“公因数”73。此种构造方法很常用，你学会了吗？【例5】（） 审题要点：1） 分母很特别哦：2） 3）详解过程：原式=专家点评：这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。【例6】（）审题要点：1） 分数相加，分子不相等，似乎不能裂项；2） 如果做一下变换呢？ 试试吧。详解过程：原式=专家点评：这道题目的解题关键在于对裂项的熟练应用。题目本身并不是很难，但是需要同学认真仔细。【例7】（） 审题要点： 1）既然题目这样出了，说明绝大部分项能够裂项约掉！试验可知：，（这两个利用辗转相除法），能够约掉37，看来确实可以裂项。详解过程：观察到5，37，101以及约去的最大公约数17和65都是偶数的平方+1，所以立刻猜测最后的约分后等于，原式等于。专家点评：这是一道比较难的计算题，很多人认为只有到了初中，学了因式分解才有可能做出来。但是，小学生如果能够有“找规律”的思维，也是完全可以得出答案的。本题解题的关键在于“试算观察法”与“辗转相除法”的综合运用，你学会了么？【例8】（） 审题要点： 1）看到这么庞大的算式，应该想到要换元； 2）换元时注意要整个括号作为一个整体代换； 3）不妨设 详解过程： 原式 = = = =9专家点评： “换元”法在庞大的数学计算中经常用到，数学题目很少是需要你对一个复杂的式子进行每一步的计算，一般都有简便算法，这些需要你平时多积累。利用换元法解题时有两种可能性：一，换元的未知数最后都消去，可直接得出答案。二，换元的未知数不能完全消去，那么就应该将原数或原式重新代入计算，此时的代入计算将很简单，如本题中最后（a-b）须换回原来式子计算得。【例9】（） 审题要点：1）：有循环小数的计算，首先要进行分数转换。2）：每个数都是混循环小数，应该怎样化成分数？详解过程： 原式=+ =+ = = =专家点评： 循环小数化分数，你学会了么？这是个很重要的知识，在比较大小和计算过程中经常用到。另外，如果对循环小数的性质很熟悉的话，知道=1，则可观察到：还有一个，所以总和为。经验证，。四、拓展训练1. =初级点拨 这道题目不难，关键是考察对公式的应用；深度提示 注意哦，分母中1与3，3与5都是要差2，所以在裂项时，括号外面要乘以；