2-2 标准正交基与向量的正交化

,哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材, 矩阵论教程国防工业出版社 2012,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,授课预计 (10学时),第二章 内积空间与赋范线性空间,内积空间,标准正交基与向量的正交化,正交子空间,向量范数,矩阵范数,向量范数与矩阵范数的相容性,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构 造标准正交基；,3, 理解正交子空间及其正交补的概念；,1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念；,5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；,重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补； 算子范数；相容性,难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与 向量范数的相容性,教 学 内 容 和 基 本 要 求,4, 理解向量范数的概念；理解矩阵范数的概念，掌握算 子范数，会求常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数 的相容性；,设V是酉(欧氏)空间，xV，称 为x,，则称x为单位向量。,由于向量与其自身的内积满足 ，故可以,利用它定义向量的模（或范数），并将向量间的夹 角、正交等概念推广到一般的内积空间。,的长度(范数，模)。,定理1,设(x,y)是酉(欧氏)空间V的内积，则,Cauchy-Schwarz不等式,证明： 不妨设V为酉空间。,（1）,（2）,不妨设,（2）,不妨设,取,（3）,即,由Cauchy-Schwarz不等式,因此利用内积、范数及其性质可以定义,范数 性质,Cauchy-Schwarz不等式知,例 1 在 中，,取元素 ，则,则在V1中， xx2； 在V2中，与xx2不正交。,应该注意的是 ：,在同一个线性空间中，如果定义了两个不同的内积，得到两个不同的内积空间，则向量在这 两个内积空间的正交性不一定相同。,设V是酉(欧氏)空间,是V中非零向量组，如果 两两正交，,则称 是正交向量组。,证明：设 是正交向量组。令,若 是正交向量组，且它们都是单位向量，则称其为标准正交向量组。,定理2 正交向量组是线性无关向量组 。,例2 在 中向量组,都是标准正交向量组,设 是酉(欧氏)空间的基底，且是,则称 是空间的标准正交基。,定理3 内积在标准正交基下的矩阵为单位阵。,证明：,是空间的标准正交基，内积在该组,基下的矩阵为,故，A=E。,到标准正交基,的过渡矩阵，则PHP=En(PTP=En),定理4 设V是酉(欧氏)空间，P是从标准正交基,证明：,内积在标准正交基 与,下的度量矩阵是合同的。所以有,PHEP=En 或 (PTEP=En),即 PHP=En (PTP=En),注：通常称满足PHP=En的矩阵为酉矩阵。,则称 是酉矩阵，一般记为,特别地， 设 为一个 阶实矩阵，如果其满足,则称 是正交矩阵，一般记为,例3.,是一个正交矩阵,是一个正交矩阵,是一个正交矩阵,是一个酉矩阵,定理5 设 ，则,，其中 是A的特征值,(4) A，AT和AH的列分别构成Cn的标准正交基,证明(3)：,设 是 的特征值,则存在 ，使得,设 ,由 知:,所以,证明(4)：,单位上三角阵：对角线元素都是1的上三角阵。,Schmidt正交化过程,证明： Schmidt正交化过程:,化成正交向量组,先把线性无关的向量组,不难证明: 是V中正交向量组,正线上三角阵：对角线元素都是正数的上三角阵。,证明,令,是V中标准正交向量组。,正线上三角阵,例4. 把,变成单位正交的向量组.,解答：令,正交化,再单位化,即为所求,例5. 在 中定义内积为,求 的一组标准正交基,下面将这组基单位正交化：,正交化,解答: 取 一组基,正交化的结果是,单位化,于是得 的标准正交基,Good,Bye,