第一章线性空间

,哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用讲义, 矩阵论讲义自编待出版,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,授课预计 (6学时),1,2,3,第一章 线 性 空 间,预备知识,线 性 空 间,线性子空间,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关 性质；,重点: 线性空间的概念；子空间的维数定理； 难点: 基变换与坐标变换;不变子空间,1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变 换的公式；,线性空间是解析几何和线性代数中向量概念的抽象化。 本章将从最简单的集合概念入手，详细给出线性空间的的概念和相关理论。,线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的回顾和延伸。,预备知识,1.1,1.1.1 集合的概念与性质,定义1 具有某种性质的事物的全体称为集合，组成集合的事物称为集合中的元素。,一般用英文大写字母A, B, C, X, Y, Z 表示集合，用英文小写字母a, b, c, x, y, z等表示集合的元素。例如：,和,都表示的是集合。,没有任何元素的集合称为空集，记为 。,常用的特殊集合一般用N, Z, Q，R和C 分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集和复数集。此外：,和,分别代表奇数集和偶数集。,定理1 设A, B, C是三个任意集合，则有： (1) 如果 B A且 A B，则A B。,(2) 如果C B且B A，则C A。,定义3 称为A与B的交集。,定义4 称为A与B的并集,定义5 称为A与B的差集。,特别的，若 ，差集 又叫做 关于,关于子集A的补集。记作 ：,定义6,1.1.2 映射的概念与性质,设有两个非空集合 ，如果对于 中的任一元素 ，按照一定规则 ，总有 中一个唯一确定的元素 与之对应，则称规则f 为从集合 到集合 的映射，记作：,称 为 在映射 下的像， 为原像,我们通常称A为映射 f 的定义域， 为映射 f 的值域,设 是两个集合，,（1）若 则称 为满射；,定义7,（2）若 ，当 时，,则称 为单射；,（3）称既单且满的映射为双射或者一一映射。,常见数域： 复数域 C ；实数域 R ；有理数域 Q ；,设F是至少包含两个数的数集，如果F 中,F中的数，则称F为一个数域,任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是,（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域）,定义8 定理2中的映射称为映射f与映射g的复合映射,1.1.3 其他概念,定义9,说明：,是一个数域,例1证明：数集,为数域,任意数域F都包括有理数域Q,进而有,而任意一个有理数可表成两个整数的商，,定理5,（2）在V中定义一个“*”运算，使得对任意的 与任意的 ，总有唯一的元素 与之对应，即： ，则称集合V对“*”运算是唯一封闭的。 并称 “ * ” 为V 中的“乘法” ；,定义10 设 是一个非空集合， 为一数域在V上定义运算如下： （1）在V中定义一个“+”运算，使得对任意 总有唯一的元素 与之对应，即： ，则称 对“+”运算是唯一和封闭的，并称 “ + ” 为V 中的“加法” ；,线性空间（Linear Space）是线性代数中所涉及到的向量空间 在元素和线性运算上的推广和抽象，也是全书的理论基础，本节将给出线性空间、子空间、基底核维数等相关概念。,线性空间,1.2,1.2.1 线性空间的概念与性质,(3) V 中存在 元素，使得对,有,(4) 对 ，有 的负元素,对,则称 为数域 上的线性空间记为:,例1 全体n维复向量所构成的集合,集合V 中的元素，称为线性空间 中的,元素或向量。,对通常向量的加法和数乘运算构成复数域C 上的,线性空间。称为复向量空间，记为：,例2 复数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ,是线性空间，通常称为复矩阵空间,一般线性空间的判定方法,例3 设,对通常多项式的加法和数乘运算构成数域F上的线 性空间，称为复多项式空间。记为：,的线性空间，称为实函数空间，记为,例5 区间上连续实函数全体所构成的集合,对通常函数的加法和数乘运算构成相应实数域 上,是一个线性空间.,例7 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法 及乘数运算为,验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间,下面一一验证八条线性运算规律：,证明:,所以对定义的加法与乘数运算封闭,所以 对所定义的运算构成线性空间,不构成线性空间,对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法,例8 个有序实数组成的数组的全体,解答:,例9 集合 不是 一个线性空间。因为加法不封闭。,例10 线性非齐次方程组 的解集,这里 是对应齐次方程组 的一个基础解系， 为 的一个特解。,不构成线性空间.,对于 及 ，定义,判断 是否构成 上的线性空间.,设数域为 ，集合 为,答案：是,1零元素是唯一的,线性空间的性质,定理1,2负元素是唯一的,4如果 ，则 或 .,5对任意的 ，如果 必有 。,证明1:,假设 是线性空间V中的两个零元素，,由于,所以,证明2,则有,向量 的负元素记为,证明3,证明4,假设,那么,又,同理可证：若 则有,证明5,证明：设,而数域F中有无限多个不同的数，所以V中有无限,多个不同的向量.,试证明数域F 上的线性空间V若含有一个,非零向量，则V一定含有无穷多个向量。,设 为数域 上的线性空间，,1.2.2 向量组的线性相关性,是 中的一组向量， 是数域 上的一组 数，若 中向量 可以表示成：,则称 可由 线性表示，也称 是的线性组合。,设 为数域 上的线性空间，,是 中的一组向量，若存在是数域 上的一组不全 为的向量 ，使得：,（1-1）,则称 线性相关；否则称,线性无关。,换言之，若 线性无关，可由（1-1）式得到：,对于 中的两组向量组：,如果A 中任一向量可由B 组向量线,性表示，则称向量组A 可由向量组B 线性表示。,如果向量组A和向量组B可以互相线性表示， 则称向量组A和向量组B等价。,例11 在多项式空间,中， 线性无关； 线性相关。,例12 在矩阵空间 中，向量组：,线性相关。,而下列向量组线性无关：,因为容易验证,线性无关，而任意 个向量（如果有的话）都线 性相关，则称向量组 为A的一个极大无 关组，极大无关组所含向量的个数 称为A的秩。,设 为线性空间 中的一,个向量组，如果A 中有 个向量,向量组A中的一个向量组的极大无关组未必 唯一，但极大无关组所含向量个数相等。,向量组A 的秩记为：,只含有零向量的向量组 没有极大无关组， 规定它的秩为0。,定理2-3,线性空间V 中的向量组有如下性质：,设 ，则 线性无关的充要条件是,若向量组某一个子向量组线性相关，则向量组 也线性相关,若向量组线性无关，则向量组任意一个子向量组 也线性相关。,向量组线性相关的充要条件是其中有某个向量可由其他向量线性表示。,若向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 可由向量组 唯一表示,1.2.3 线性空间的基、维数与坐标,设 为数域 上的一个线性空间。如果在 中存在 个线性无关的向量 ,使得: 中的任意一个向量 都可以由 线性表出,即存在 使得:,1, 如果对于任意的 ,均可以在 中找到 个线 性无关的向量,则称 是无限维的线性空间,2,空间中的向量在不同基底下的坐标是不相同的。,例14. 实数域 上的线性空间 中向量组,都是 的基。 是3维线性空间。,例15. 实数域 上的线性空间 中的向量组,都是 的基。 是4维线性空间。,注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。,例16. 实数域 上的线性空间 中的向量组,与向量组,都是 的基底。 的维数为,例17. 在4维线性空间 中，向量组,与向量组,是其两组基，求向量 在这两组基 下的坐标。,解：设向量 在第一组基下的坐标为,于是可得 解得,同样可解出在第二组基下的坐标为,设 （旧的）与 （新的） 是 维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为,1.2.4 基变换与坐标变换,将上式矩阵化可以得到下面的关系式：,令,称 阶方阵,是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，即：,定理5 任取 ，设 在两组基下的坐标分别为 与 ，且过渡矩阵为 , 那么我们有：,称上式为坐标变换公式。,与向量组,例17 在4维线性空间 中，向量组:,为其两组基。,的过渡矩阵；,（1）求从基 到基,（2）求向量 在这两组基下的坐标。,解（1）计算出下面的矩阵表达式：,（2）向量 第一组基下的坐标为,利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为,例18 验证 ，,是 的一组基，并求 在该组基下的坐标。,解答 向量组,在自然基下的坐标分别为:,且 线性无关，则根据定理6,线性无关。又由 是4维空间，所以,是 的一组基。,设,即得方程组,求解方程组可得,在该组基下的坐标为,例19 设的两个基分别是,（）：,（）：,（1）求由基底（）到基底（）的过渡矩阵；,解答：设 为自然基底，即：,则,（）,（）,（1）设由基底（）到基底（）的过渡矩阵为P，,根据定理可得：,（）,将（）和（）带入（）中得到：,这里：,（2）设 在基（）下的坐标为,求线性空间,的向量,在基,由基底 到基底,的过渡矩阵。并求其,下的坐标。,验证,是 的基底，并求 在这组基下的坐标。,1.2.5 线性空间的同构,我们知道，在数域F上的n维线性空间V中取定 一组基后， V中每一个向量 有唯一确定的坐标:,向量的坐标是F上的n元数组，因此属于 ,这样一来，取定了V 的一组基,反过来，对于 中的任一元素 是V中唯一确定的元素，并且:,即 也是满射.,因此，是V到 的一一对应.,这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.,设 都是数域F上的n维线性空间，如果映射,具有以下性质：,则称的一个同构映射，并称线性空间,同构，记作,ii),iii),i) 为双射,定义10,为V的一组基，则前面V到 的一一对应,例20. V为数域F上的n维线性空间，,这里 为在 基下的坐标,就是一个V到 的同构映射，所以,定理7,数域F上任一n维线性空间都与F n 同构.,同构映射，则有：,设 是数域F上的线性空间， 的,定理8,中分别取,证： 在同构映射定义的条件iii),即得,线性相关（线性无关）.,V中向量组 线性相关（线性无关）,的充要条件是它们的象,证 因为由,可得,反过来，由,可得,而是一一对应，只有,所以可得,同构关系具有：,反身性：,对称性：,传递性：,两个有限维线性空间同构的充要条件是