2-5 矩阵范数

,哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材, 矩阵论教程国防工业出版社 2012,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,授课预计 (10学时),第二章 内积空间与赋范线性空间,内积空间,标准正交基与向量的正交化,正交子空间,向量范数,矩阵范数,向量范数与矩阵范数的相容性,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构 造标准正交基；,3, 理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的 概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；,1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念；,5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；,重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补； 算子范数；相容性,难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与 向量范数的相容性,教 学 内 容 和 基 本 要 求,4, 理解向量范数的概念；理解矩阵范数的概念，掌握算 子范数，会求常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数 的相容性；,本章约定：,我们仅在 （或 ）上研究方阵的范数。,数的方法来定义矩阵的范数。,线性空间 中任意一个 矩阵，都可以看,做是一个 维的向量，因此，可以用定义向量范,了计算上的方便，常常要求矩阵范数满足相容性，,由于矩阵之间具有向量所没有的乘法运算，为,即,(1) 正定性: 当且仅当:,(2) 齐次性：,(4) 相容性：,(3) 三角不等式：,称实数|A|是矩阵A 的范数。,上常用的矩阵范数,下面我们逐一验证。,证明 (1) 对 进行验证。,满足正定性,当且仅当A为零矩阵时，|A|=0。,满足齐次性,满足三角不等式,满足相容性,是定义在 上的矩阵范数。,证明 (2) 对 进行验证。,根据范数的定义，显然正定性和齐次性成立。下证三角不等式和相容性。,满足三角不等式,利用Minkowski不等式,满足相容性,利用Hlder不等式,是定义在 上的矩阵范数。,证明 (3) 对 进行验证。,正定性，齐次性和三角不等式容易证明，下面 只证明满足相容性。,m1-范数,m2-范数,m-范数,观察 上常用的矩阵范数,m1-范数与m2-范数可以视为向量的1-范数与2-范数的直接推广，而矩阵的m-范数与向量的-范数却并不相同，这是为什么呢？先看一个例子,因此这样定义是为了满足相容性而设的。,若定义,对,有,从而,又被称为Frobenious范数，简称F-范数。记做|A|F,定理1,A 的F-范数|A|F满足：,其中 为A的第j列，,其中 为A的第j列，,证明,由向量2-范数定义知 ，故,因为,所以,定理2,而,U、V是 中的酉矩阵，则,V也是酉矩阵，同理有,证明 由已知 因此,所以,(3) |A|是关于矩阵A各元素aij的连续函数。,证明 与向量范数类似，略。,量范数，若存在两个与x无关的正常数m、M，使得,设 是 中定义的任意两种向,则称 与 是等价的。,与向量范数类似， (或 )上任意两个矩 阵范数等价。另外，仍然可以根据已知的矩阵范数 构造出新的矩阵范数。,证明 非负性，齐次性和三角不等式的成立是显 然的，下面只要证明相容性成立即可。,例8 设 是线性空间 上的两个矩阵范数, 证明 也是 上的矩阵范数。,证明 当A0时，由于S可逆，则S-1AS 0，从而,对任意的k C，有,例9 设 可逆，| |为给定的 中的 矩阵范数， ，定义函数,证明|A|也是 中的矩阵范数。,对任意的 ，有,因此，|A|也是 中的矩阵范数。,矩阵范数和向量范数一样，仍然是一种度量性 质，在第七章我们将看到利用矩阵范数可以定义 矩阵间的距离，从而可以研究矩阵序列的收敛性, 而且由于线性空间中任意两种矩阵范数等价，当 使用不同的矩阵范数研究矩阵序列收敛性时，其 收敛性是相同的。,结束语：,Good,Bye,