第八章2 矩阵微分

,哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,课前预习、课中提高效率、课后复习,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材, 矩阵论教程国防工业出版社 2012,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,授课预计 (10学时),第八章 矩阵分析,矩阵的Kronecker积,函数矩阵的微分,函数矩阵的积分,矩阵微分方程的求解,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2, 理解函数矩阵的微分与积分定义； 掌握数量值函数 与矩阵值函数关于矩阵变量的导数；,4, 了解一阶矩阵微分方程的一般形式和性质；掌握利用矩 阵函数求解此类微分方程的方法。,重点: 克罗内克积的概念；函数矩阵的微分；矩阵微分 方程求解。 难点: 数量值函数与矩阵值函数关于矩阵变量的导数,1，理解和掌握矩阵的克罗内克积的概念和性质；,3，理解和掌握函数矩阵的极限、连续性和积分的定义、性 质和计算；,都是关于自变量在a,b上连续可微函数。,8.2.1 函数矩阵对变量的导数,该矩阵称为函数矩阵A(t)关于变量t的导数，记为,定义2 ：,设 为n阶函数矩阵，若存在n阶函数,矩阵 ，使得对于任何 ，有,则称A(t)在a,b上可逆，B(t)为A(t)的逆矩阵，记为,函数矩阵的求导法则,(1),(2),(3),当 亦可微时，有,证明：由,，则,例2 ：设AATRnn是数值矩阵，xx(t)是n维向 量值函数。则 (1) 求Ax的导数； (2) 求xTAx的导数；,解答 (1),(2),最后一步因为 为一元函数，故,例3 ：设ACnn为常数矩阵，证明,证明：由eAt的定义及级数理论易知,类似的可以证明,例4 设 为可微矩阵，讨论,是否一定成立？何时成立。,则,，,而,为函数f(X)对矩阵变量X的导数.,若f(X)关于X的任一元素的偏导数都存在，则称,解：由,则有,故,则,故有,解: 由,当A是对称矩阵时,类似的可算得 当A是对称矩阵时,量值函数，则称,都可导，即,则称,为F(X)关于矩阵变量X的导数。,为哈米尔顿(Hamilton)算子矩阵,则，,若定义,F(X)关于矩阵变量X的导数也可表示为,解：由定义,而,故有,(3) 证明：,其中,例11：设ACnn为矩阵型变量，y Cn为常向量，求,练习1,向量型变量,练习2,常数值向量,Good,Bye,