多来专升本高数函数和极限

多来专升本【高等数学】复习反余切函数y=arccotx 是y=cotx在区间（0，）上的反函数，定义域是（-,+），值域是（0，），在定义域内单调减少。2.初等函数有基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数。例如y=1+x22，y=sin(1+x)1+x2，y=sincos2x 等都称为初等函数。考点四 求函数的解析式1. 已知fx和gx的表达式，求fg(x)的表达式对于这种题型，直接把gx当做 fx的自变量代入fx的表达式即可。例1 已知fx=lnx2, gx=x2,求fg(x)的表达式。 解析：把gx当做 fx的自变量代入fx的表达式即可得到fg(x)= lnx4.例2 已知fx=1x，求ff(x)的表达式。解析：把fx当做自己的变量重新代入fx的表达式即可得到ff(x)=x.2. 求已知函数y=f(x)的反函数求反函数的一般步骤为：1.将等式y=f(x)作恒等变形，反解出等式x=f-1(y)；2.对于x=f-1(y)，交换x、y（因为我们常常使用字母x作为自变量），此时即得反函数的解析式y=f-1(x)；3.确定反函数的定义域，反函数y=f-1(x)的定义域就是原函数y=f(x)的值域。例 求函数y=3x-1的反函数解析：将等式y=4x-1做恒等变形可得x=y4+1，然后调换x与y的位置，即得反函数解析式为y=x4+1，注意定义域为：x0.3. 已知fg(x)和g(x)的表达式，求f(x)的表达式 换元法令t=g(x)，然后根据等式t=g(x)反解出x=g-1(t)，再把x的表达式x=g-1(t)代入fg(x)的解析式中即可得到一个关于t的表达式f(t)，再把t换为x即可。例1 设f(x+2)=x2+3x，则f(x)=_.解析：令x+2=t,再将x+2=t做恒等变形即可得到x=t-2,将x的表达式代入f(x+2)=x2+3x即可得到：f(t)=(t-2)2+3t-2=t2-t-2.最后把t换为x即得：f(x)=(x-2)2+3x-2=x2-x-2. 恒等变形法例2 设f1x+x=x2+1x2+2，则f(x)=_.解析：设1x+x=t, 由于f1x+x的解析式可以化简，即f1x+x=x2+1x2+2=(1x+x)2，所以直接有：ft=t2,再把t换为x即得fx=x2.4. 已知f(x)和f(g(x)的表达式，求g(x)的表达式例1 已知fx=x3，且fx=x2+1，则x=_解析：此类题型切记要先把复合函数fx关于x（即把x当做复合函数的自变量）的表达式求出来，然后在求出利用等式fx=x2+1求出x关于x的表达式。由fx=x3可得，fx=x3，在根据等式fx=x2+1可知，fx=x3=x2+1，最后可解出x=3x2+1。历年真题2018已知fx=ex，且fx=1+2xx>0,则x=_.2017已知fx+1=x2+2，则f(cosx)=_.2016已知fx=1-1x，则ff(x)=( )A.x-1B.1x-1C.1-xD.11-x函数fx=x3的反函数是y=_.2015已知函数fx=x，则ff1x=( )A.xB.x2C.1xD.1x2已知函数fx=x-1，则f(x)的反函数 y=_.2014已知f2x=x2-2x，则fx=( )A.14x2+1B.14x2-1C.14x2-xD.14x+1设fx-1x=xx-1(x0,1)，则f(x)=_.2013设fx=11-x，那么fff(x)=( )A.1xB.1x-1C.11-x2D.x2012已知fx-1=x2-x，则fx=_.2011设fx+1=x2+2x+2，则fx=( )A.x2B.x2+1C.x2-5x+6D.x2-3x+21.2 极限及其运算法则一、数列的极限（1）数列：若按照一定的法则，由第一个数a1，第二个数a2，依次排列下去，使得每一个正整数n都能对应一个确定的数an，那么我们就可以称这列有次序的数a1，a2，an，为一个数列，记作an。数列中的每一个数都叫做数列的项。其中第n项 an 的表达式则称为数列的一般项或通项。例如：12，14，18，nn+1，；12，23，34，nn+1，；1，-1,1，-1，-1n+1，；注：我们也可以把数列an看作是自变量为正整数n的函数，即：an=fn，它的定义域是全体正整数.（2）极限：极限的概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中的。例如我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何上的应用。任给一圆，首先可作出圆内接正六边形，把它的面积记为A1；再作圆内接正十二边形，其面积记为A2；再作圆内接正二十四边形，其面积记为A3；依次做下去，每次边数加倍，（我们把圆内接正62n-1边形的面积记为An，nN+）。如此，可得一系列内接正多边形的面积A1，A2，A3，An，它们就构成了一列有次序数列。我们可以发现，当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以An作为圆面积的近似值也越精确。但是无论n取得如何大，只要n取定了，An终究只是多边形的面积，还不是圆的面积。因此，设想n无限增大（记为n，读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时An也无限接近于某一确定的数值（因为我们要求的圆的面积总是确定的）。因此当内接正多边形的边数无限增加时，An无限接近于某一确定的数值，而这个数值就是圆的面积。对于数列A1，A2，A3，An，而言，这个确定的数值就被称为这个数列当n时的极限。（3）数列的极限：设xn为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数(无论它有多小)，总存在正整数N，使得，当nN时，不等式xn-a<都成立，那么就称常数a是数列xn的极限，或者称数列xn收敛于a .记为limnxn=a，或者xna(n) .如果不存在这样的常数a，就说数列xn没有极限，或者说数列xn是发散的，习惯上也说limnxn不存在。注：此定义中的正数可以任意给定是很重要的，因为只有这样，不等式xn-a<才能表达出 xn 与a无限接近的意思。此外还应注意到：定义中的正整数N与任意给定的正数 有关的，它随着 的给定而选定。我们给“数列xn的极限a”一个几何解释：将常数a及数列x1，x2，x3，xn 在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的领域即开区间（a-，a+）