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第11章质点动力学的基本方程ppt课件

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第11章质点动力学的基本方程ppt课件

第三篇 动力学,动 力 学 引 言,本章重点、难点 重点 建立质点运动微分方程。 质点动力学第二类基本问题的解法。 难点 对质点运动微分方程进行变量变换后再积分 的方法。,本章重点、难点 重点 建立质点运动微分方程。 质点动力学第二类基本问题的解法。 难点 对质点运动微分方程进行变量变换后再积分 的方法。,本章重点、难点 重点 建立质点运动微分方程。 质点动力学第二类基本问题的解法。 难点 对质点运动微分方程进行变量变换后再积分 的方法。,力的作用是改变物体机械运动的原因,动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。机械运动变化是力对物体作用的结果。,什么是动力学?,动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。,不考虑运动状态发生变化的原因,只从几何的观点来论述物体的机械运动,是运动学的任务。,从这种意义上说,动力学是理论力学中最具普遍意义的部分,静力学、运动学则是动力学的特殊情况。,动力学的研究对象:低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。,在静力学、运动学两篇中曾讨论过: 当作用于物体上的力系满足一定条件时,物体处于平衡状态,力系的简化与合成、力系的平衡条件研究是静力学的两个基本任务;,动力学的力学模型,质点系:系统内包含有限或无限个质点,这些质点都具有惯性, 并占据一定的空间;质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转质点系,质点:质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转质点 刚体的平动质点,刚体:质点系的一种特殊情形不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。,工程实际中的动力学问题,棒球在被球棒击打后,其速度的大小和方向发生了变化。如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力。,工程实际中的动力学问题,载人飞船的交会与对接,工程实际中的动力学问题,航空航天器 的姿态控制,第十一章 动力学的基本方程,本章内容及分析思路,根据动力学基本定律,质点动力学的基本方程,求解质点的动力学问题,动力学的基本定律,质点的运动微分方程,第11章 质点动力学的基本方程,质点动力学的两类基本问题,导学,11-1 导学,以牛顿运动定律为基础的动力学称为牛顿力学或古典力学。牛顿定律是以实验为根据的,它只适用于某些参考系。凡是牛顿定律适用的参考系称为惯性参考系。相对于惯性参考系静止或作匀速直线参考系都是惯性参考系。科学技术的进一步发展表明,只有宏观物体的速度远小于光速时,古典力学才是正确的。 这说明古典力学的应用范围是有限有。如果物体运动的速度接近光速或研究的是微观离子的运动,则要用相对论力学或量了力学分析研究。 但在一般的工程技术问题中,物体大多是宏观物体,且速度远小于光束,所以用以牛顿运动定律为基础的古典力学的理论来解决,可以得到足够精确的结果。 本章根据牛顿基本定律得出质点动力学的基本方程,运动微积分方法,解决单个质点的动力学的两个基本问题。,第一定律(惯性定律),不受力作用的质点,将保持静止或作匀速直线运动。,不受力作用的质点处于静止状态,或保持其原有的速度(包括大小和方向)不变的性质称为惯性。,第一定律阐述了物体作惯性运动的条件,故称为惯性定律。,包括受平衡力系作用的质点,11-2 动力学的基本定律,牛顿三定律,质点的质量与加速度的乘积,等于作用于质点的力的大小,加速度的方向与力的方向相同。,第二定律(力与加速度之间的关系定律),牛顿三定律,当质点上受到多个力的作用时, 应为此汇交力系的合力。,11-2 动力学的基本定律, 质点在力作用下有确定的加速度,使质点运动状态 发生改变;, 对于相同质量的质点,作用力大,其加速度也大;, 用大小相等的力作用于质量不同的质点上,则质量 大的质点加速度小,质量小的质点加速度大。,质量是质点惯性的度量。,质点动力学的基本方程,11-2 动力学的基本定律,重力加速度, 在重力作用下得到的加速度,g,由第二定律得,物体所受的重力,重力加速度,一般取9.80m/s2,力的单位:N(牛顿),11-2 动力学的基本定律,两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体之上。,第三定律(作用与反作用定律),既适用于平衡的物体,也适用于任何运动的物体。,惯性参考系:三个定律均适用的参考系,在一般的工程问题中,把固定于地面的坐标系或相对于地面作匀速直线平移的坐标系作为惯性参考系。,牛顿三定律,11-2 动力学的基本定律,质点运动微分方程的矢量形式,质点动力学第二定律,1、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影,11-3 质点的运动微分方程,将动力学基本方程 表示为微分形式的方程,称为质点的运动微分方程。,式中, 为质点直角坐标形式的运动方程,2、质点运动微分方程在自然轴上的投影,11-3 质点的运动微分方程,第一类问题:已知运动求力,第二类问题:已知力求运动,混合问题:第一类与第二类问题的混合,(需要求导),(需要求积分),11-4 质点动力学的两类基本问题,已知质点的运动,求作用在质点上的力(微分问题),解题步骤和要点:, 正确选择研究对象, 受力分析,画受力图, 进行运动分析, 建立坐标系,列出适当形式的质点运动微分方程, 求解未知量,一般选择联系已知量和待求量的质点,分析质点运动的特征量,一、第一类问题,11-4 质点动力学的两类基本问题,例11-1 以匀角速度转动的曲柄OA=r,AB=l,滑块质量为m,忽略摩擦及AB质量;=r/l 较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方程近似为 ,试求 时,AB所受的力。,解:以滑块B为研究对象,由滑块B的运动方程得,O,A,y,x,B,已知作用在质点上的力,求质点的运动(积分问题),解题步骤和要点:, 正确选择研究对象, 受力分析,画受力图, 进行运动分析,二、第二类问题,应在一般位置上进行分析,对变力建立力的表达式,判断力是什么性质的力,除分析质点的运动特征外,还要确定运动初始条件, 求解未知量,应根据力的函数形式决定如何积分,并利用运动的初始条件,求出质点的运动。,如力是常量或是时间及速度函数时:,如力是位置的函数时:,要进行变量置换,,再分离变量积分, 建立坐标系,列出适当形式的质点运动微分方程,直接分离变量 积分,例11-2 质量为m的炮弹以速度v0发射,v0与地面夹角为,求炮弹的运动规律。,解: 以炮弹为研究对象,画受力图, 积分, 取坐标系,列微分方程, 由初始条件,求积分常数,例11-3 质量为m的小球以水平速度v0 射入静水,如水对小球的阻力F与小球速度v的方向相反,而大小成正比,即F=-v(为粘滞阻尼系数)。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻力作用下的运动。,解: 以小球为研究对象,画 受力图, 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程,为求vx、vy,将两式分离变量, 积分, 初始条件,求积分常数, 求出小球的速度方程, 再积分,求出小球的运动方程,由初始条件,求积分常数,质点的运动方程为,当t 趋于无穷大时,下落速度c= mg/,称为极限速度;,小球趋于等速铅垂下落;,小球的轨迹趋于一铅垂直线。,当忽略介质阻力,应有=0,可得水平抛射体的运动方程,轨迹为抛物线,例11-4 质量为m的物块在光滑水平面上与刚度系数为k的弹簧相连,在弹簧拉长变形量为a时,释放物块。求物块的运动规律 。,解: 以物块为研究对象,画受力图,弹簧力水平方向,并指向O点,物体在任意坐标x 处弹簧变形量为|x|, 设弹簧未变形处为坐标 原点,建立图示坐标系, 物块沿x轴的运动微分方程,自由振动微分方程的标准形式,此微分方程的解可写为,其中,A、为任意常数,由运动的初始条件决定。,物块的运动方程为,物块做简谐振动:,n 圆频率,周期为T=2/n,物块的运动方程为,振动中心为O点,振幅为a,例11-5 如图所示,圆锥摆的摆绳长l = 0.3m,摆绳与铅直线夹角= 60,质量m = 0.1kg的小球在水平面内作匀速圆周运动,求小球的速度v与绳的张力。,解: 以小球为研究对象,画受力图, 取自然轴系,列微分方程,混合问题,本章结束!,

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