(完整版)同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)

第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 381 141 102 解 381 141 102 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 44 (2) bac acb cba 解 bac acb cba acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3b3c3 (3) 222 111 cba cba 解 222 111 cba cba bc2ca2ab2ac2ba2cb2 (a b)(b c)(c a) (4) yxyx xyxy yxyx 解 yxyx xyxy yxyx x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3(x y)3x3 3xy(x y) y33x2y x3y3x3 2(x3y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序 数 (1)1 2 3 4 解逆序数为 0 (2)4 1 3 2 解逆序数为 441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为 53 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为 32 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2 ) 1(nn 3 2 (1 个) 5 2 5 4(2 个) 7 2 7 4 7 6(3 个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1 个) (6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解逆序数为 n(n 1) 3 2(1 个) 5 2 5 4 (2 个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1 个) 4 2(1 个) 6 2 6 4(2 个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1 个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子 a11a23的项的一般形式为 ( 1)ta11a23a3ra4s 其中 rs 是 2 和 4 构成的排列这种排列共有两个即 24 和 42 所以含因子 a11a23的项分别是 ( 1)ta11a23a32a44( 1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42( 1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式 (1) 7110 02510 2021 4214 解 7110 02510 2021 4214 0100 142310 2021 10214 7 32 34 cc cc 34 ) 1( 14310 221 1014 14310 221 1014 0 141717 200 1099 32 32 1 1 cc cc (2) 2605 2321 1213 1412 解 2605 2321 1213 1412 2605 0321 2213 0412 24 cc 0412 0321 2213 0412 24 rr 0 0000 0321 2213 0412 14 rr (3) efcfbf decdbd aeacab 解 efcfbf decdbd aeacab ecb ecb ecb adf abcdefadfbce4 111 111 111 (4) d c b a 100 110 011 001 解 d c b a 100 110 011 001 d c b aab arr 100 110 011 010 21 d c aab 10 11 01 ) 1)(1( 12 010 11 1 23 cdc adaab dcc cd adab 11 1 ) 1)(1( 23 abcd ab cd ad 1 5证明: (1) 111 22 22 bbaa baba (a b) 3; 证明 111 22 22 bbaa baba 001 222 2222 12 13 ababa abaaba cc cc abab abaab 22 ) 1( 222 13 21 )( aba abab(a b)3 (2) yxz xzy zyx ba bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax )( 33 ; 证明 bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax bzaybyaxx byaxbxazz bxazbzayy b bzaybyaxz byaxbxazy bxazbzayx a bzayyx byaxxz bxazzy b ybyaxz xbxazy zbzayx a 22 zyx yxz xzy b yxz xzy zyx a 33 yxz xzy zyx b yxz xzy zyx a 33 yxz xzy zyx ba)( 33 (3)0 ) 3()2() 1( ) 3()2() 1( )3()2() 1( ) 3()2() 1( 2222 2222 2222 2222 dddd cccc bbbb aaaa ; 证明 2222 2222 2222 2222 )3() 2() 1( ) 3() 2() 1( )3()2() 1( )3() 2() 1( dddd cccc bbbb aaaa (c4c3c3c2c2c1得) 523212 523212 523212 523212 2 2 2 2 dddd cccc bbbb aaaa (c4c3c3c2得) 0 2212 2212 2212 2212 2 2 2 2 dd cc bb aa (4) 4444 2222 1111 dcba dcba dcba (a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d); 证明 4444 2222 1111 dcba dcba dcba )()()(0 )()()(0 0 1111 222222222 addaccabb addaccabb adacab )()()( 111 )()( 222 addaccabb dcbadacab )()(0 0 111 )()( abdbddabcbcc bdbcadacab )()( 11 )()()()( abddabcc bdbcadacab =(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d) (5) 1221 1000 0010 0001 axaaaa x x x nnn xna1xn 1an 1x an 证明用数学归纳法证明 当 n 2 时 21 2 12 2 1 axax axa x D命题成立 假设对于 (n 1)阶行列式命题成立即 Dn 1xn 1a1xn 2an 2x an 1 则 Dn按第一列展开有 111 001 0001 ) 1( 1 1 x x axDD n nnn xDn 1anxna1xn 1an 1x an 因此对于 n 阶行列式命题成立 6设 n 阶行列式 D det(aij), 把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90 、或依副对角线翻转依次得 n nnn aa aa D 111 1 1 111 1 2 n nnn aa aa D 111 1 3 aa aa D n nnn 证明DDD nn 2 )1( 21 ) 1(D3D 证明因为 D det(aij)所以 n nnn n n n nnn aa aa aa aa aa D 221 1 111 1 111 1 1 ) 1( ) 1() 1( 331 1 221 111 21 n nnn n n nn aa aa aa aa DD nn nn 2 )1( ) 1() 2(21 ) 1() 1( 同理可证 nnn n nn aa aa D) 1( 1 111 2 ) 1( 2 DD nn T nn 2 ) 1( 2 ) 1( ) 1() 1( DDDDD nn nnnnnn ) 1( 2 )1( 2 ) 1( 2 2 ) 1( 3 ) 1() 1() 1() 1( 7计算下列各行列式(Dk为 k 阶行列式 ) (1) a a Dn 1 1 , 其中对角线上元素都是a未写出的元素 都是 0 解 a a a a a Dn 0001 0000 0000 0000 1000 (按第 n 行展开 ) ) 1()1( 1 0000 0000 0000 10000 ) 1( nn n a a a ) 1() 1( 2 ) 1( nn n a a a n nn nn a a a )2)(2( 1 ) 1() 1(anan 2an 2(a21) (2) xaa axa aax Dn; 解将第一行乘 ( 1)分别加到其余各行得 axxa axxa axxa aaax Dn 000 00 00 再将各列都加到第一列上得 ax ax ax aaaanx Dn 0000 000 000 ) 1( x (n 1)a(x a)n 1 (3) 111 1 )() 1( )() 1( 111 1 naaa naaa naaa D nnn nnn n ; 解根据第 6 题结果有 nnn nnn nn n naaa naaa naaa D )() 1( )() 1( 1 111 ) 1( 111 2 ) 1( 1 此行列式为范德蒙德行列式 11 2 ) 1( 1 )1() 1() 1( jin nn n jaiaD 11 2 ) 1( )() 1( jin nn ji 11 2 1) 1( 2 ) 1( )() 1() 1( jin nn nn ji 11 )( jin ji (4) nn nn n dc dc ba ba D 11 11 2 ; 解 nn nn n dc dc ba ba D 11 11 2 (按第 1 行展开 ) n nn nn n d dc dc ba ba a 0 00 0 11 11 11 11 0 0 ) 1( 11 11 11 11 12 c dc dc ba ba b n nn nn n n 再按最后一行展开得递推公式 D2nandnD2n 2bncnD2n 2即 D2n(andnbncn)D2n 2 于是 n i iiiin DcbdaD 2 22 )( 而 1111 11 11 2 cbda dc ba D 所以 n i iiiin cbdaD 1 2 )( (5) D det(aij)其中 aij|i j|; 解aij|i j| 04321 40123 31012 22101 13210 )det( nnnn n n n n aD ijn 04321 11111 11111 11111 11111 21 32 nnnn rr rr 15242321 02221 00221 00021 00001 12 13 nnnnn cc cc ( 1) n 1(n 1)2n 2 (6) n n a a a D 111 111 111 2 1 , 其中 a1a2an0 解 n n a a a D 111 111 111 2 1 nn nn aa aa aa aa a cc cc 10000 1000 1000 1000 10000 11 33 22 1 21 32 1 1 1 1 3 1 2 1 1 21 110000 11000 00110 00011 00001 n n n a a a a a aaa n i i n n a a a a a aaa 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 21 100000 10000 00100 00010 00001 ) 1 1)( 1 21 n i i n a aaa 8用克莱姆法则解下列方程组 (1) 01123 2532 242 5 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解因为 142 11213 5132 4121 1111 D 142