第二课时角

第二课时 与三角形有关的角知识点一：三角形内角和定理1、内容：角形三个内角的和等于180，即可以表示为：在中，有.2、作用：在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；已经知道了三角形的内角和等于180，但要注意的是在解决实际问题时，这一点是不会在已知中告诉你的，也就是往往要把它作为隐含的条件来用，因此在解决此类问题时应该切记3、定理的推导：三角形内角和定理证明方法很多，定理的证明需要添加辅助线，通过辅助线将角转移和集中，把隐含的条件显现出来由180可联想到平角；邻补角；两直线平行，同旁内角互补，现举几种常见的证明思路： 思路1：如图1所示，延长BC到E，作CDAB因为ABCD（已作）， 所以1=A（两直线平行，内错角相等），B=2（两直线平行，同位角相等） 又ACB+1+2=180（平角定义）， 所以ACB+A+B=180（等量代换） 思路2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DEAB，交AC于E，DFAC，交AB于点F 因为DFAC（已作）， 所以1=C（两直线平行，同位角相等）， 2=DEC（两直线平行，内错角相等） 因为DEAB（已作） 所以3=B，DEC=A（两直线平行，同位角相等） 所以A=2（等量代换） 又1+2+3=180（平角定义）， 所以A+B+C=180（等量代换）知识点二：三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.要点诠释： (1)外角的特征有三条： 顶点在三角形的一个顶点上如下图：ACD的顶点C是ABC的一个顶点 一条边是三角形的一边如：ACD的一条边AC正好是ABC的一条边； 另一条边是三角形某条边的延长线如：ACD的边CD是ABC的BC边的延长线。 (2)三角形有六个外角，每个顶点处有两个外角，但算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外 角和是指三个外角的和，三角形的外角和为360；和外角有共同顶点的内角叫做和这个外角相邻的内角，它们是互补的，互为邻补角，另外两个内角叫做和这个外角不相邻的内角知识点三：三角形内角和外角的性质 1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. （1）推理过程：如图所示， 因为ACD+ACB=180（邻补角定义）， ACB+A+B=180（内角和定理）， 所以ACD=A+B（等式性质） （2）作用：已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”； 可证一个角等于另两个角的和； 经常利用它作为中间关系式证明两个角相等。 2. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如上图所示，ACD>A或ACD>B 作用：利用它证明两个角不相等的关系要点诠释： 这两个结论称为三角形内角和定理的推论它可以当作定理直接使用利用它证明角不等时，应设法把求证中的大角放在三角形的外角位置上，把小角放在内角位置上，也可以把它们的一部分放在外角或内角的位置上。 注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思即 “和它不相邻”的意义三、规律方法指导 1三角形内角和为180，三角形三个外角的和是360,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件； 在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小. 2在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角. 3三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据外角的性质应用：证明一个角等于另两个角的和；作为中间关系式证明两角相等；证明角的不等关系. 4利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便.基础过关作业1ABC中，A=50，B=60，则C=_2已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定3ABC中，A=B+C，则A=_度4根据下列条件，能确定三角形形状的是（ ）（1）最小内角是20； （2）最大内角是100； （3）最大内角是89； （4）三个内角都是60； （5）有两个内角都是80A（1）、（2）、（3）、（4） B（1）、（3）、（4）、（5） C（2）、（3）、（4）、（5） D（1）、（2）、（4）、（5）5如图1，1+2+3+4=_度 (1) (2) (3)6三角形中最大的内角不能小于_度，最小的内角不能大于_度7ABC中，A是最小的角，B是最大的角，且B=4A，求B的取值范围8如图2，在ABC中，BAC=4ABC=4C，BDAC于D，求ABD的度数综合创新作业9（综合题）如图3，在ABC中，B=66，C=54，AD是BAC的平分线，DE平分ADC交AC于E，则BDE=_10（应用题）如图7-2-1-4是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成30角，DA与CB相交成20角，怎样通过测量A，B，C，D的度数，来检验模板是否合格？11（创新题）如图，ABC中，AD是BC上的高，AE平分BAC，B=75，C=45，求DAE与AEC的度数12如图，已知，在直角ABC中，C=90，BD平分ABC且交AC于D（1）若BAC=30，求证：AD=BD；（2）若AP平分BAC且交BD于P，求BPA的度数13（易错题）在ABC中，已知A=B=C，求A、B、C的度数培优作业14（探究题）（1）如图，在ABC中，A=42，ABC和ACB的平分线相交于点D，求BDC的度数（2）在（1）中去掉A=42这个条件，请探究BDC和A之间的数量关系15（开放题）如图，在直角三角形ABC中，BAC=90，作BC边上的高AD，图中出现多少个直角三角形？又作ABD中AB边上的高DD1，这时，图中共出现多少个直角三角形？按照同样的方法作下去，作出D1D2，D2D3，当作出Dn-1Dn时，图中共出现多少个直角三角形？